12 基本不等式应用探微（数学部分）-2019年1-2月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

重点解析 椒学 基本不等式应用探微> , 凵吉冬林 某木不等式a+b≥2√b,其中a≥0,b≥0.来源实范围相去甚远,而函数图象的变化趋势(单调性) 于(a-√b)2=0,其基本含义通常简述为“一正 是刻划函数最值的更可靠途径.此外,我们必须知道 三相等”进一步地其形式为实数a与b“和”与公式a+b≥2√如中的a,b除了“正实数”,史一般的 “积”运算值的大小关系,故从本质上称之为“和积转含义为一切大于零的数学式”,由此,换元是这类问 化”;从应川角度考虑,当wb为定值时可求得a+b的题简化表述利计算的常用方法 最小值,反之,a+b为定值时,a≤(“)2可得ab的 变式11已知f(x)-|1-11,0<a≤b且 最大值.这样一个简单的知识点内涵丰富,是不等关(a)=(b),求2a+b的最小值 系中不可或缺的核心知识,也是数学转换与化归思想 的重要载 分析:由f(x) 的图 基本内涵:“定”是前提,“等”是关键 高屮教材基本不等式的学习与应用侧重于最值 的探求,其变式主耍有两种模型 象,f(a)-f(b)只能 g(2为定但 a+b=2(和为定值 (x)+g(x)((x)+(x)为定值) 方法1:化为 例1正实数a,b和为1(1)求ab的范围;(2)求 b,则x+y2(简沾的和式 ab+的取值范围 b=- 分析:(1)∵>0,b>0,a+b=1=2√ab 当且仅当a=b=取等号) 22即a 2)令-4y-计+1≥2·1-2,仅当 取等号 方法2:化为af(x 1取等号∈(0,4,故只能 b.2u+b-27 十b-1+b 但事实上,由y-t+ 对 递减故时,-4.又4-0,y→+∞,y的令2b-1-t>1,则2a+b-。x +2≥2√+ 取值范用是,+∞) 3=2+3(仅当=2,即b=2+1,a=2+2时 这是一个简单而非常典型的问题:(1)同时满足取等号 公式中的正、定、相等三个条件,(2)仅仅满足正、定 通过变形使相关的和式或乘积式简沾,蕴含了对 从逻辑上说.t+1 代数式运算的处理能力,简化的表述才能有简捷的运 z并不错,只是y>2 算,我们以下例“放大”其思维过程 45 重点解析 变式.2正数x,y有x+y-1 4x载休,内谷通过形式体现,而不同的表现形式又必然 决定不同的思维指向基本不等式反映代数式和与积 y~1的最小值 的关系转化:b为积,a+b为和;a+b≥2√ab(b 分析1:与的和为定值用与表示r 首先我们必须从形式上深刻理解 1,令 例2 的最大值 则〃+n-1(简洁的和式 分析 b+为和式 /9m(4)-25故当3m-2,即y2,x-3 a+)1+√+) 1即为积 时,Tmn=25 1+/(b+2)·1 分析2:+-1即xy-x+y,原式分母( 1)(y-1)=1(积为定值 2且a-bb-取等号 令x-1-m,y-1m,故mn1(简洁的乘积式 分析2:a+b与wb相关,a+.+6+)能 (y 时取等号 否转化为ab的表达式呢 此外,必须注意的是,基本不等式般用于求代 数式的最大或最小值,但可能不适合求代数式范围 (a+b)+(b (值姒)的问题 变式1.3已知止数x,y满足x+3y+xy=9,求 3y取值范围. b取等号),∴ 分析 xy(x=3y取等 号),3xy<x,4-9-xy≥9-12 或者:2/(a+)(b+b)≤(a+)+(b+ ∴12+12l-108≥0,t6(当x-3,y-1时取等 号)即x+3y最小值6,无法判断有无最大值 分析2:x>0,y=9-x 变式21正数a,b满足a(a+b+c)+bc=4 23,2a+b+c的最小值为 分析:2a+b+c是和,a(a+b+c)+bc是和与积 令x +3=t,t∈(3,12),x+3y 6=g(t) 的组合能否都化为某两个量的和或积 换兀是简化表述的重要途径1)出g()=1-30 2+b+c=(+b)+(a+c) g(t)在(3,6]递减,在[6,12)递增,故x+3y∈6,9) ∴2a+b+c≥2√(a+b)(a+6)2√4-2√3 通过“消元”、“换元”的灵活应用,将问题转化为2(3-1)(b=c取等号) 求函数的值域—深刻领会不等关系与数变化趋 数学的变形多么神奇!a+b≥=2√ab中的a,b可 势的内在联系,这也是高屮数学的重点知识之 以是数,可以是式,可以是数学计的征何实数量,甚至 和积转化:形式体现方法 我们可以这样理解:和积转化就足将问题中的量都问 数学概念、数学公式本身就是数学思想与方法的“和”或都向“积”转化减少量的种类,这是求简意 46