16 高考《不等式选讲》考什么（数学部分）-2019年1-2月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

重点解析 学 高考《不等式选讲》考什么 凵刘春雷 《不等式选讲》在新课标高考中以解答题选做题 1,即|x+5v≤1 的形式出现,共占10分,对于每分必争的高考米说 同样不可掉以轾心.那么,高考《不等式选讲》考什么 点评:证明绝对值不等式的三种主要方法 考含绝对值不等式的解法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为 普通不等式再证明 例1已知函数f(x (1)解不等式f(x)<~-4 )利用三角不等式|a|-|b|≤a±b≤|a (2)若正实数ab满足a+b=√⑤,试比较a2+6+b进行证明 (3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明 与f(x)+3的大小,并说明理由 三、考含绝对值不等式的综合应用 解析:(1)由题知|x|+|x+2|>4 例3已知f(x) 1+|x+2a+3|. ①当 时,-2x-2>4,解得x<-3 (1)证明:f(x)≥2 ②当-2x≤时,2>4,矛盾,无解; ③当x>0时,2x+2>4,x≥>1; (2)若f(-2)<3,求实数a的取值范围 所以该不等式的解集为{x|x 或x>1 解析:(1)证明:因为f(x)-|x-a2|+|x+2a+ (2)因为|x|+|x+2 2|=2,当且仅3|≥|x+ x≤0时,取“=”所以f(x)=-|x|-|x+ 2,即f(x)+3≤1 2,所以∫(x)≥2 (2)解:因为f( (-55)2+1≥1.当日仅当a= 取等号.所以a2+ + 点评:含绝对值不等式的解法有两个基本方法 是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意 所以 4,解得-1<a 义求解,法一是运用分类讨论思想 运用数形 +2a+3<3(x2-2a<3 结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立 0,所以a的取值范围是(-1,0) 交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思 点评:对于求y=|x-a|+|x-b或 想方法的灵活应用,这是命题的新动向 b型的最值问题利用绝对值三角不等式更方 考含绝对值不等式的证明 形如y-|x-a|+|x-b的函数只有最小值,形 如y-|x-a|-|x-b的函数既有最大值又有最 例2已知x,y∈R,且x+y≤6,|x-y≤小值 4,求证:|x+5y≤1 四、考比较法证明不等式 证明:|x+5y3(x+y)-2(z-y) 例4(1)设a2b是非负实数 所以巾绝对值不等式的性质,得 求证:2+b≥√ab(a+b); x+5y-|3(x+y)-2(x-y)≤|3(x+y)|+ (2)求证:ab60≥(ab)9(a>0,b 56 重点解析 数学 证明:(1)∵a2+b2-√cb(4+b) 分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析 綜合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准 a(a-6)+b√6(b-√a) 解题目标,即不仅要搞清已知针么,还要明确干什么, 通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题 Wab)(ava-b 6 过程 又∵4≥0,b≥0,∴不论4≥b≥0,还是 六、考柯西不等式的应用 都有 同号 例6(1)设a,b∈R-且a+b-2.求证:2+ +6 6(a+b 2)若2x+3y=1,求4x3+9y的最小值 解析:(1)证明:根据柯西不等式,有 1;当4>b>0时,>>1 (2-a)+(2-b12-a+2-b 当b>a>0时,0<<1, 综上所述:b(b)(a>0,b>0) 点评:1.作差比较法证明不等式的一般步骤是 作差—变形定号—下结论.变形常用的技巧 高. 有:配方、通分、分解因式等.当被证的不等式两端是 多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法 当且仅当√2-a,b 作商比较法证明不等式的一般步骤是 商变形与1比较大 变形常用 b=]时等号成立 的技巧有放縮法.当被证的不等式两端是幂式或指数 2)由柯西不等式得(4x2+9y2)(12+1)=(2z 式或乘积式时,一般使用作商比较 五、考综合法、分析法证明不等式 当且仅当2x×1-3v×1,即 例5已知a 0,a23+b2=2.证明 (1)(a+b)(a+b);(2a+bs 4∵y=6时取等号 证明:(1)(a+b)(a2+b)-a+b+a2b+b2 十b)2-2a3b2+ab(a4+b4) 1x2+9y的最小值为 4+ab(u2 点评:1.利用柯西不等式证明不等式的关键在于 故原不等式成立 利用已知条件和所证不等式,构造柯西不等式的基本 (2)∵(a+b)3=a3+3ab+3ab3+b 形式,从而利用柯西不等式证明,但应注意等号成立 2+3cb(a+b)≤2 3(a+b) 的条件 2.利用柯西不等式求最值 (1)变形凑成柯西不等式的结特征,是利用柯 (a+b) 西不等式求解的先决条件 点评:1.利用基本不等式证明不等式是缤合法证 (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西 明不等式的一种情