17 导数一破解零点综合问题的杀手锏（数学部分）-2019年1-2月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

解题方法 导数——一破解零点综合问题的杀手锏 燃燃翻8 8器额 感麟郦翻题懿 凵杨金林 X 近几年的高考数学试题中频频出现零点问题,其 ()若 在区 形式逐渐多样化、综合化利用导数解决此类问题,是间(0,1)无零点,故f(x)在区间(Q,1)单调,而f(0) 近几年高考命題的热点题型,而旦一般属于压轴题 f(1)=a+x,所以当ax-3时,f(x)在区间(0, 难度较大,本文举例说明如何用好导数,彼解啊数零 点问题 1)有一个零点;当a=0时,f(x)在区间(0,1)无零点 一、讨论函数零点的个数 (i)若-3<a<0,则f(x)在区间( 例1(2015高考新课标1理21)已知函数f(x) 调递减,在区间(√-8,1)单调递增,故当x +4,g(r)=-ln (1)当a为何值时,x轴为山线y=f(x)的切线 时,f(x)取的最小值,最小值为f (2)用minm2n}表示m,n中的最小值,设所数 h(x)=min{f(x),g(x))(x>0),讨论h(x)零点的 ①若f(-)>0,即 0,f(x)在区间 解析:(1)设曲线y-f(x)与z轴相切于点(x, (,1)无零点 ),则f( ②若/(V 圳∫(x)在区 间(0,1)有唯一零点 ③若∫( 0,即 由于 齿此,当 时,x轴是线y=f(x)的 f(1)=a+,所以当 切线 (2)当x∈(1,+∞)时,g(z)-lnxx0 f(x)在区间(0,1)有两个零点;当-3<a≤ 而h(x)=min{f( f(x)在区间(0,1)有一个零点 ∴h(x)在区间(1,+∞)时无零点 综上,当 时,h(x)有一个零 当x1时,若a≥-4,则f(1)-a+4≥0 或 h(x)-minf(1),g(1)}-g(1)-0,故x-1是h(x) 点:当 或 时,h(x)有两个零点;当 的零点; 时,h(x)三个零点 米,则f(1)=a+<0,(x)=m3( 点晴:讨论函数零点的个数,可先利用函数的导 g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点 数,判斷函数的单调性,进一步讨论函数的取值情况 1)时,g( lnx>0,所以只需考虑根据零点存在性定理判断(证明)零点的存在性,确定 f(x)在区间(0,1)的零点个数 函数零点的个效 58 解题方法 数学 二、已知函数在区间上有零点,求参数的 (1)根据区间上零点的个数情况,估计出函数图 值或取值范围 象的大致形状,从而推导出导数需要满足的条件,进 例2(2018年高考理数全国卷已知函数而求出参效满足的条件 /()=e-c (2)也可以先求导,通过求导分析函数的单调 (1)若a-1,证明:当x≥0时,f(x)=1 再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本身需 (2)若f(x)在区间(0,+x)只有一个零点,求 要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构 解:(1)当a=1时,∫(x)≥1等价于(x+1)x造新函,借助导数研究函数的单调性、极值等,层层 推理得解 设函数g(x)=(x2+1)e-1 三、已知存在零点,证明零点的性质 则g(x) 例3(河北省衡水中学2019屈高三上二调)已 时,g(x)<0,所以g(x)在区间(O,知函数/(x)1nx+a+a(∈R) 十<∞)单调递减. 而g(0)-0,故当x=0时,g(x)≤0,即∫(x (1)若函数f(x)在区间_1,+∞)上为增函数,求 a的取值范围 (2)由f(x)=e-ax=0得 ,设函 2)若函数 有两个 数h(x)=1-axe 不同的极值点,记作x1,x,且x1<x,证明:x1 f(x)在区间(,+c)只有一个零点当且仪当 e(e为自然对数的底数 h(x)在区问(0,+x)只有一个零点 解析:(1)题可知,两数f(x)的定义域为(0 (i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点 因为函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数, 当x∈(0,2)时,h(x 所以∫(x)≥0在区间[ 恒成立,等价高 时,形(x)>0. 于a≤(x2+x)mi,即a≤2 所以h(x)在区间(0,2)单调递减,在区间(2 所以a的取值范用是(-c,2 十∞3)单调递增 由題得,g(x)=xlnx-ax2+a-x 故h(2) 是(x)在区间(0,+∞)的最 则g(x)-ln-2ax, 小值. 因为g(x)有两个极值点x1,x2, 所以 ①若h(2)>0,即 ,h(x)在区间 x>e3等价于训lm 有零点 3,即hnx1+2nm2>3,所以ax1+2 ②若k h(x)在区间(C,+∞)只 因为0<<、x,所以原不等式等价于 有一个零点; ③若h(2)<O,即 巾于h(0)=1,所以 由lnx1=2a1,lnx2=2ax2,可得ln=2a(x (x)在区间(,2)有一个零点 由(1)知,当 所以h(4a)