14 离心率的值或范围的求解策略（数学部分）-2019年5-6月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

解题方法 的一点,若PHi⊥PF2,且∠PF2Fi 则C的离 率为 另解:巾题意可知:A(-a, 解析:设|PF2|=m2则根据平面儿何知识可求 F1F2|,|PFi|,再结合椭圆定义叫求离心 直线AP的方程为 在△F1PF2中,∠H1PF2 ∠PF2F1=60 设|PF2|=m,则2c=|FF2|=2m,|PF1|=√3m 由∠F1F2P=12 又由椭圆定义可知 IF:F==PF =|PF1+|PF2|=(3+1)m,则离心率e 则P(2c,3c 代人直线AP25=82+),整理得 3+1) 点睛:梢圆定义的应用主要有两个方面:一是判 离心率 断平面内动点与两定点的距离之和是否为定值,二是 点评:解决椭圓和双曲线的离心率的求值及范国利用定义求焦点三角形的周长、面积、精圆的弦长及 问题,其关键就是确立一个关于a,b,的方程或不等最值和离心率问题等;“焦点三角形”是楠国问题中的 式,再根据ab,C的关系消掉b得到aC的关系式,而常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正骇定 建立关于a,b,C的方程或不等式,要充分利用圓锥曲理,余弦定理以及椭圆的定 线的几何性质、点的坐标的范围等. 6.利用数形结合 例4已知心在坐标原点的椭圆与双山线有公 例7设F1,F2是双曲线C:2-=1(a>0,b 焦点,且左、右焦点分别为F,F.这两条山线在第 0)的左,右焦点,O足坐标原点过F2作C的一条 象限的交点为P,△PF1F2是以PF为底边的等 腰三角形若P|=10,记椭圆与双出线的高心率渐近线的垂线,垂足为P若F1P|=6OP,则C的 分别为 的取值范茁是 离心率为 解析:设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m 解析:如图,过F2作PF2⊥ PF2|=n,(m>n),巾于△PF1F2是以PF为底边 延长F2P,作F1Q⊥PF2机交 的等腰三角形,若|PF1|=10,即有m=10,n=2c,由 则|F1Q|=2|OP|=2a 椭圆的定义可得m+n=2ax1,由双曲线定义可得m n=22,即a1=5|c;2=5-c,(<5),再巾三角形的 QP|=|F2P|=b,从而|F1P|=/6 在△FPQ川有6a2=4a2+62,即2a2=b2 两边之和大J第三边,可得2+2c10,可得 可得e=C a2+b√3a 既有。<c<5,由离心率公式可得e·e= 点评:由条件PF2⊥l,构造直角△F1QF2,运用勾 52=25,由于12<4,则由n1>3,则股定理建立方程,找到2=b,从而求出巧妙构 图,多思少算 e1·t的取值范围是(,+∞) 点评:求解本题的关键是利用三角形的两边之和 大于第三边建立不等式求出c的范囿 4.利用圆锥曲线性质 例5若a>1,则双曲线一y2=1的离心率的 取值范围足 解析:题意==“1=1+因为a 1,所以 2,则1<c√2 5利用平面几何性质 例6已知F1,F2足椭圆C的两个焦点,P是