17 三角换元技巧与多元函数最值（数学部分）-2019年5-6月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

拓展延伸 椒学 三角换元技巧与多元函数最值 凵房园园 三角换儿技巧是一种用三角函数代替问题中的 解:囚为x3-xy+2y=8,配方得 母,然后利用三角函数之间的关系解决问题的一种 代换方法,此法应用广泛,本文仅就这种方法在求解 (x-x)2 ,设 多元函数最值问题中的应用,精选部分高考和竞赛数 学题为例说明如下 解最大值问题 sine+2√2cos,① 例1(2015年第二十六“希望杯”仝国数学邀 请赛高二第1试第3题)当x≥ 时,两数∫ √2-y2+y√3-x的最大值是( 将①、②同时代入x2+xy+2y2中t,得 A.2B3C.6D.2√3 分析:本題直接求函数的最大值,比较繁琐,根据 x2+xy12y=(令 n+2√2cos9)2+ 题的结构特征,尤其结合极号内的代数式,通 ing+ ne)2=88sm2+ 角换元,结合sin20+cos2=1,使问題的解答顺畅 明了 解:设x=3sin,y=√2sinp3,(0≤ 32√2 7sin(28-q),其 II tang 故依据正弦函数的 ),所以√2 有界性,知当sin(20g)=1时,x+xy+2y取得最 3cos则 √2cos+√2s 人值2+2 =√6in(a+8),因此当a+P=时,f(x,y)mx=√6. 点评:上述解法从已知条件入手,先将题设式进 枚选C. 行配方,结合三角换元,将条件三角化后代入目标函 点评:这是一道二元元理函数的最值问題,通过数,从而沟通了题设与結论的关系,实现了将代数最 巧妙配凑系数后,借助sin20+cos20=1,巧妙利用 值问题化归为三角函数最值问题来处理,最后裉据正 涣元,将无理函敛的最值问题转变为三角函数的化弦函数的有界性,巧妙求得最大值上述解法,不仅减 筒求最值问题,自然流畅地应用正弦函数的有界性求少了计算量,而且丰富了同学们的解题思路,提高了 得结果,其解法简捷明了,其思路顺理成章,真可谓匠解题遼度. 独具,别有洞天,令人耳目一新 解最小值问题 例2(2014年美国哈佛麻省理工数学竞赛 例3(2015年福建省高考题)已知a>0,b 题)已知实数x,y满足x2-xy 8,试求x2 函数f a|+|x-b+c的最小值为 十2y的最大值 求a十b十c的值; 分析:这是一道二元最值问题,试题以二次方程 的形式给出,去求二次式的最大值,人口较宽,可以从 (2)求Aa2+b2+c的最小值 多个角度进行思考,故能较好地考查同学们的数学思 分析:(1)易求得a+b+c=4;(2)本题所求目标 水平,本文仅介绍一种新颖简捷的三角代换法 式的最小值涉及三个了母,难度大,然而通过变换 拓展延伸 变形使能透过现象看本质,找到了三角换元求解就简 便 从而2a+b=n=sin+msin+Vc 解:设 62+ r>0),令c= rsim+ ni-tccose n(+g) =rsna:cos3,ba=roa·cos,其中,a,B∈[o J是(2a+=5,此时4a2+4ab+62 ]代入a|bc=4中变形得 8c即42+4b+62=8(4x2-2b+48),整班得 sine·co 4a2-12a+92=0,即(2a-3b)2=0,得2a 因为∈[0,2,所以c90,于足2c0a,c8 又2x+b=4b 10c 从而b=√10c s·sin(a+g)≤√13c3,(其 √,于 所以 + sit sin3 的最 √13c0s升+sing≤√1,所以 即 小值为 点评:上述方法是从条件入手,通过配方,将已知 当且仅当=7,=7,=7时等号成立,故+条伴三角化后代入目标画数,实现了将代效最值河题 62+c3的最小值为 转化为三角函数最值问题来处理.本题运用三角换元 技巧法求解,不仅简洁明快,解法流畅,而且能启迪思 点评:本题考查绝对值函数最值的求法及其满足 高解题速度,拓宽视野.此题设计精巧,可以从 二,约束条件的多元函数的最值问题的解法对于第(1 度研究:思维分析切口较宽,解法也较多.然而 题我们利用绝对值的性质易得a|b 根据题中条件的结构特征,利用三角换元思想解题可 出的三角换元法求最值的方法,其实质是空间极坐标谓别具一格 系也叫球坐标系,数学选修《坐标系与参数方程》中有 三、解最大值和最小值问题 介绍,若将本题中a,b,c分别看作x,y,x,令 例5(2015年苏锡常三市高考二模试题)若实 数a,b,c满足 Ra+b+c的最大值和 (r>0),x2+y十x=r那么最小值, 问题就转化为球面方程,可选用空间极坐标系法 分析:木题如从已知条件入壬求解,则很难,但从 求解 构入于通过设a=ros9,b=rsin,则可联系三角两 例4(2014年高考江宁卷·理第16题)对于c数知识求得结果 0,当非零实数a,b满足Aa2-2b|4b-c=0且使 解:设a=nc0s,