1.1.2 余弦定理-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版必修5）

1.1.2 余弦定理 一、余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即，， 二、余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论 ， ________________； ________________． 三、余弦定理与勾股定理 从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广． 四、正弦定理与余弦定理的关系 （1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理． （2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）． 因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然． 我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题． 一、 二、 三、直角 钝角 锐角 帮—重点 利用余弦定理解三角形 帮—难点 综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断 帮—易错 解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形 1．解三角形问题的常见类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型： （1）已知两角及其中一角的对边，如已知【一解】（上节内容，此处不再赘述） （2）已知两边及其夹角，如已知【一解】 在中，，则等于 A．5 B．4 C．3 D．10 【答案】A 【解析】由余弦定理得：， 因此. 故选A． 【名师点睛】已知两边及其夹角的解题步骤： （1）由求； （2）由求； （3）由求． 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角． （3）已知三边【一解