第1章 1.1.1　空间向量及其运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 　 图1　　　　　　　图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为|． ，模为| ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示]　空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝a－b． －＝＝a＋b，＋＝ (2)如图2，． ＝＋＋ 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向