第1章 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点) 2．掌握空间向量的坐标运算．(重点) 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点) 4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用． 1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养． 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示． 1．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． 2．空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (4)|a|＝； ＝ (5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝． ＝ 思考2：若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔． ＝＝，当a的每一