第1章 1.2.2　空间中的平面与空间向量-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

1.2.2　空间中的平面与空间向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点) 2．会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点) 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点) 1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养． 2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养． 如图，在直棱柱ABC­A1B1C1中， (1)与哪些棱平行的向量与平面ABC平行，这些向量是否两两互相平行？ (2)与哪些棱平行的向量与平面ABC垂直，这些向量是否两两相互平行？ 空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中的平面能否利用向量来描述其位置？ 1．平面的法向量 (1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？ [提示]　无数个　平行 思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ [提示]　垂直 (2)平面的法向量的性质 ①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 一定与向量n垂直，即n· (3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． (4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的