第2章 2.4　曲线与方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

2.4　曲线与方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点) 3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法． 4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤． 5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点) 6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质． 1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养． 2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养． 4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养． 我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用． 1．曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式． 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： ①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线． 思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明． [提示]　如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆． 思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ [提示]　若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0． 2．两条曲线的交点坐标 曲线C1：F(x，y)＝0和