第1章 章末综合提升-2020秋北师大版高中数学必修四讲义

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 三角函数的定义 【例1】　已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值． [解]　因为r＝， ，cos θ＝ 所以.又x≠0，所以x＝±1.＝x＝ 又y＝3>0，所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3； 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3. 有关三角函数的概念主要有以下两个方面： (1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 1．求函数f(x)＝的定义域．＋ [解]　函数f(x)有意义，则 即 如图所示，结合三角函数线知 ∴2kπ＋(k∈Z).≤x<2kπ＋ 故f(x)的定义域为(k∈Z). 三角函数的诱导公式 【例2】　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值． [解]　(1)f(α)＝ ＝ ＝－cos α. (2)f＝－cos ＝－cos ＝－cos .＝－ 正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换． 2kπ＋α，π±α，－α，2π±α，±α的诱导公式可归纳为： k×＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶． 2．若sin ＋，求＝ . [解]　因为sin .所以，所以cos θ＝－＝ ＋ ＝＋ ＝－ ＝.＝－＝－ 三角函数的图像及其变换 【例3】　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像． (1)求此函数的解析式； (2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的． [解]　(1)由图像知，A＝， ＝ k＝＝π， ＝－1，T＝2× ∴ω＝sin (2x＋φ)－1.＝2，∴y＝ 当x＝.，∴φ＝＋φ＝时，2× ∴所求函数解析式为y＝－1.sin (2)