第2章 §3 3.2　平面向量基本定理-2020秋北师大版高中数学必修四讲义

3.2　平面向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点) 2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点) 1.通过学习平面向量基本定理，提升数学抽象素养． 2.通过平面向量基本定理解决实际问题，培养直观想象素养． 平面向量基本定理 如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？ [提示]　由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2. ∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2. 1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A.e1，e2　　　　　　　 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 [答案]　B 2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝6e2，则2e1－3e2等于(　　)＝4e1， A． B． C． D． B　[如图，)＝2e1－3e2.]－(＝＝ 3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 3　[由原式可得 解得 所以x－y＝3.] 4．已知向量a与b不共线，且＝3a－b，则共线的三点为________．＝－a＋9b，＝a＋4b， A，B，D　[，所以A，B，D三点共线．]＝＝a＋4b，所以＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为＋＝ 对向量基底的理解 【例1】　设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： ①， 与；④与；③与；②与 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①②　　 B．①③ C．①④ D．③④ B　[①共线．与，则＝－不共线；④与共线；③与，则＝－不共线；②与 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．] 考查两个向量是否能构成基底