专题14 数列综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解

专题14 数列综合 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 2.（2020·新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1=3， ． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 3.（2020·北京卷）已知 是无穷数列．给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ； ②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ． (Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列. 4.（2020·江苏卷）已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 5.（2020·山东卷）已知公比大于 的等比数列 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）求 . 6.（2020·天津卷）已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 7.（2020·浙江卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与an的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ． 【2019年】 1．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， . （I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （II）求{an}和{bn}的通项公式. 2．【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若 ，则称新数列 为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 ．若p<q，求证： < ； （Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式． 3．【2019年高考天津卷理数】设 是等差数列， 是等比数列．已知 ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 ． （i）求数列 的通项公式； （ii）求 ． 4．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an} 满足： ，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn} 满足: ，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值． 5．【2019年高考浙江卷】设等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满足：对每个 成等比数列． （I）求数列 的通项公式； （II）记 证明： 【2018年】 1. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 {bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． 2. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明.3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列． （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．4. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有