专题15 三角函数与解三角形综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解

专题15 三角函数与解三角形综合 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅱ） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求 周长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由正弦定理可得： ， ， ， . （2）由余弦定理得： ， 即 . （当且仅当 时取等号）， ， 解得： （当且仅当 时取等号）， 周长 ， 周长的最大值为 . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 2.（2020·北京卷）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ） 和 的面积． 条件①： ； 条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） , ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） , . 【解析】选择条件①（Ⅰ） EMBED Equation.DSMT4 （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 3.（2020·山东卷）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一： 由 可得： ， 不妨设 ， 则： ，即 . 选择条件①的解析： 据此可得： ， ，此时 . 选择条件②的解析： 据此可得： ， 则： ，此时： ，则： . 选择条件③的解析： 可得 ， ， 与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵ , ∴ , ， ∴ ,∴ ,∴ ,∴ , 若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1; 若选②， ,则 , ; 若选③,与条件 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 4.（2020·天津卷）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 （Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得 ， 又因为 ，所以 ； （Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 EMBED Equation.DSMT4 ； （Ⅲ）由 知角 为锐角，由 ，可得 EMBED Equation.DSMT4 ， 进而 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 5.（2020·浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （I）求角B； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I） ；（II） 【解析】 （I）由 结合正弦定理可得： △ABC为锐角三角形，故 . （II）结合(1)的结论有： EMBED Equation.DSMT4 . 由 可得： ， ， 则 ， . 即 的取值范围是 . 【2019年】 1．【2019年高考全国Ⅰ卷】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ． （1）求A； （2）若 ，求sinC． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由已知得 ，故由正弦定理得 ． 由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ． （2）由（1）知 ，由题设及正弦定理得 ， 即 ，可得 ． 由于 ，所以 ，故 ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1）B=60°；（2） . 【解析】（1）由题设及正弦定理得 ． 因为sinA 0，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ，因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 ． 由正弦定理得 ． 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故 ，从而 ． 因此，△ABC面积的取值范围是 ． 3．【2019年高考北京卷】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB= ． （1）求b，c的值； （2）求sin（B–