专题19 函数与导数综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解

专题19 函数与导数综合 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数 . （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围. 2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： ； （3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ . 3.（2020·新课标Ⅲ）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1． 4.（2020·北京卷）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程； （Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值． 5.（2020·江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 6.（2020·江苏卷）已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ． （1）若 ，求h(x)的表达式； （2）若 ，求k的取值范围； （3）若 EMBED Equation.DSMT4 求证： ． 7.（2020·山东卷）已知函数 ． （1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 8.（2020·天津卷）已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； （Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ． 9.（2020·浙江卷）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数 在 上的零点，证明： （ⅰ） ； （ⅱ） ． 【2019年】 8．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有2个零点． 9．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知函数 . （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 的切线. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由. 11．【2019年高考北京】已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值． 12．【2019年高考天津】设函数 为 的导函数． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 ． 13．【2019年高考浙江】已知实数 ，设函数 （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）对任意 均有 求 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数． 14．【2019年高考江苏】设函数 、 为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值； （3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ． 【2018年】 20. （2018年浙江卷）已知函数f(x)=−lnx． （Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．