突破10 函数的单调性与最值（重难点突破）-2020年初升高衔接教材数学重难点突破+课时训练

突破10 函数的单调性与最值重难点突破 一、考情分析 二、经验分享 【知识点一、函数的单调性】 1．函数单调性的定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数； ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 名师解读：对函数单调性的理解： （1）定义中的x1，x2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x1<x2． （2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若 是增函数，则 ；若 是减函数，则 ． 2．函数的单调区间 如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）___________，区间D叫做y=f（x）的___________． 名师解读：对函数单调区间的理解 （1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接． （2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集． （3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性． （4）并非所有的函数都具有单调性．如函数 就不具有单调性． 名师解读：常见函数的单调性 函数类型 单调性 一次函数 在 上单调递增 在 上单调递减 反比例函数 单调减区间是 和 单调增区间是 和 二次函数 单调减区间是 ，单调增区间是 单调减区间是 ，单调增区间是 【知识点二、函数的最大值与最小值】 1．最大值 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的 ，都有___________；（2）存在 ，使得___________． 那么，我们称M是函数 的最大值．函数的最大值对应图象最高点的纵坐标． 2．最小值 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的 ，都有___________；（2）存在 ，使得___________． 那么，我们称m是函数 的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 名师解读：函数的最值与单调性的关系 如果函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则函数 ， 在 处有最大值 ． 如果函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，则函数 ， 在 处有最小值 ． 如果函数 在区间 上是增（减）函数，则在区间 的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值． 三、题型分析 (一) 证明或判断函数的单调性 例1、证明：函数 在区间（0，＋∞）上是增函数． 【变式训练1】．用单调性定义证明：函数在（﹣∞，1）上为增函数． 【变式训练2】．用定义法证明函数f（x）在（，+∞）上是增函数； 【名师点睛】函数单调性判断的等价变形： 是增函数 对任意 ，都有 ，或 ，或 ； 是减函数 对任意 ，都有 ，或 ，或 ． (二) 函数单调性的应用 例2、若函数 在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围． 【变式训练1】．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 【变式训练2】．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（　　） A．f（a）＞f（2a） B．f（a2）＜f（a） C．f（a2+2）＜f（2a） D．f（a2+1）＞f（a） 【变式训练3】．设f（x）＝|x﹣a|a，x∈[1，6]，若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间； (三) 求函数的最大值与最小值 例3、已知函数 ，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值． 【变式训练1】．对a，b∈R，记max{a，b}，函数f（x）＝max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是（　　） A．0 B． C． D．3 【变式训练2】．已知函数f（x），x∈[1，+∞）， （1）当a时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型： 一是函数定义域为实数集 ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值； 二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又