2.4 圆周角-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

圆周角 知识点一、圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 1. 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交； 2. 圆周角与圆心角的异同 （1）圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处； （2）在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个； （3）圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交. 例：下列四幅图中，是圆周角的是（ ） 【解答】C 【解析】由圆周角的定义，圆周角需要满足顶点在圆上，且角的两边都与圆相交可排除A、B、D选项，故C选项正确. 知识点二、圆周角定理及圆周角定理的推论 1. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 2. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 3. 在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补； 4. 直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径； 5. 相等的圆周角所对的弧相等. 例：如图所示，在中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝ °. 【解答】40° 【解析】∵AB是的直径，∴∠ACB＝90°， 又∵∠CAB＝50°，∴∠ABC＝40°， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°. 知识点三、圆内接四边形及圆内接四边形的性质 1. 圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆； 2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 3. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 例：如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC. 【解答】见解析 【解析】连接AC，如图所示： ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°=∠ACE． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠EBC=∠D． ∵C是弧BD的中点， ∴∠1=∠2， ∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°， ∴∠E=∠D， ∴∠EBC=∠E， ∴BC=EC. 巩固练习 一．选择题 1． 如图，A、B、C三点在⊙O上，D是CB延长线上的一点，∠ABD＝40°，那么∠AOC的度数为（　　） A．80° B．70° C．50° D．40° 2． 如图，BC是⊙O的直径，点A、C1是圆上两点，连接AC、AB、AC1、BC1，若∠CBA＝25°，则∠C1的度数为（　　） A．85° B．75° C．65° D．55° 3． 如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（　　） A．36° B．44° C．54° D．72° 4． 如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（　　） A．33° B．56° C．57° D．66° 5． 如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 6． 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（　　） A．6 B．8 C．3 D．4 7． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（　　） A．18° B．20° C．25° D．40° 8． 如图，点A、B、C、D在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，则∠A的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 二．填空题 9． 如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为　 　． 10．已知：点P是⊙O直径AB上的任一点，AB＝2，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角为45°，则PC2+PD2的值为　 　． 11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为　 　． 12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，．若∠CAB＝50°，则∠CAD＝　 　°． 13．在⊙O中，AB是直径，AB＝4，C是圆上除A、B外的一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是　 　． 14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　 　°． 15．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是　 　°． 16．如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为