2.1 圆-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

圆 知识点一、圆的定义及表示 1. 圆的定义 定义一、如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径. 定义二、圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. （1） 圆上的各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2） 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 2. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. PS：确定一个圆需要两个要素，一个是圆心（确定圆的位置），一个是半径（确定圆的大小）. 例：以已知点O为圆心，可以画 个圆，以已知线段AB的长为半径，可以画 个圆，以已知点O为圆心，已知线段AB的长为半径，可以画 个圆. 【解答】无数；无数；一 【解析】确定一个圆的条件有两个，圆心和半径，缺一不可，前两问都只有一个条件，无法确定圆，最后一问两个条件都确定了，所以圆也就确定了. 知识点二、点和圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语音 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆内 点P在圆上 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆内 点P在圆外 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 例：如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4. （1）以点A为圆心，4为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？ （2）若以点A为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r取值范围如何？ 【解答】见解析 【解析】（1）连接AC，如图所示： ∵AB＝3＜4，AD＝4， 由勾股定理得AC＝5＞4， ∴点B在A内，点D在A上，点C在A外； （2）当点B在A上时，r＝AB＝3， 当点C在A上时，r＝AC＝5， ∴3＜r＜5. 知识点三、与圆有关的概念. 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC； 直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； 2. 弧、半圆、优弧、劣弧 （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧； （2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图所示的（绿色部分）； （4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图所示的（蓝色部分）. ①弧与弦的区别：弧上圆上两点间的部分，是一条曲线，弦是圆上两点间的线段； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆. 3. 圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角，如图所示的∠AOB. （1）在同一个圆中，圆的两条半径所夹的角就是圆心角； （2）一条弧所对的圆心角只有一个. 4. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等的两个圆就是等圆），等圆和圆心的位置无关； 5. 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧（长度相等的弧不一定是等弧）. 例：如图所示，在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上的两点，且AC＝BD，求证：△OCD为等腰三角形. 【解答】见解析 【解析】连接OA、OB，如图所示： ∵OA、OB为O的半径，∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD， ∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形. 巩固练习 一．选择题 1． 到定点的距离等于定长的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 2． 到圆心的距离大于半径的点的集合是（　　） A．圆的内部 B．圆的外部 C．圆 D．圆的外部和圆 3． 下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧 4． 下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 5． 下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6． 已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（　　） A．2cm B．4cm C．8cm