专题13 基本不等式及其应用-2020-2021学年新高一数学暑假衔接特训班专题（沪教版）

专题13 基本不等式及其应用 【目标导向】 掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单的问题。 【知识要点梳理】 1.基本不等式 (1)a2+b2≥2ab（a，b∈R）， 该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤； (2) 当a，b≥0时，a+b≥ ab≤. 2. 算术平均数： （a,b为正数） 几何平均数： 的几何解释：A B D’ D C a b 3.不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具 体问题背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。利用基本不等式求最值要注意三点：一正，二定，三相等。 研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。 【典型例题分析】 例1、已知实数a,b判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1） ；（2）；（3）；（4） （5）； （6） （7） 正确：（2）（3）（6）（7） 例2.已知求证，并指出等号成立的条件。 证：略 变式练习：1.已知求的取值范围。 答案： 2.已知函数当x>0时，求y的取值范围。 答案： 3.求函数的最小值，并指出当x为多少时取得最小值。 答案：当且仅当时，y有最小值为 4.已知求当x为何值时，y取的最小值。 答案：当且仅当x=2时y有最小值为2 5.求函数的取值范围。 答案： 例3、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： ∴ 解二：当即时 例4、已知,且，求的最大值。 【解析】利用基本不等式求最值，关键抓住两个要点：（1）求积的最大值其和必须为定值，求和的最小值其积必须为定值；（2）等号必须成立，当然正实数是前提。 【答案】5 变式练习： （1）已知，且，求的最大值； （2）已知，，求的最小值。 【解析】（1）把看做三个因子相乘，但考虑到条件，故把拆成，这里关键是均拆；（2）拆成。 【答案】（1） （2） 例5、当时，求的最小值。 【解析】将表达式变形使其各项的积是一常数，然后应用基本不等式。 【答案】24 【点拨】本题用到了配凑法，主要目的是为了使“积为常数”，本题解法具有普遍性。 例6、（1）若，。求的最小值； （2）若，