6.2.3向量的数乘-新教材2019-2020学年高一数学人教A必修第二册同步高效学案

6.2.3　向量的数乘 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．(重点) 2．理解数乘向量的运算律．(重点) 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点) 1.通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养直观想象和逻辑推理素养． 2．借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养. 1．数乘向量 (1)定义： 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： (i)当λ＞0时，与a的方向相同； (ii)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量． (2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． (3)运算律： 设λ，μ为实数，则 ①(λ＋μ)a＝λ a＋μ a； ②λ(μ a)＝(λμ)a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：数乘向量与实数的乘法有什么区别？ [提示]　(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的． 1．下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a　　　　　　 B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) C　[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．] 2．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　) A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a B　[原式＝2a－2a－b－b＝－2b.] 3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b D　[4(a－b)－3(a＋b)－b ＝4a－4b－3a－3b－b ＝a－8b.] 4．已知向量a＝2e，b＝－e，则a＝________b. －2　[a＝2e＝－2(－e)＝－2b.] 数乘向量的概念 【例1】　(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________． (2)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3. ①用表示；②用