专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（文）真题分项详解

专题17 立体几何综合 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ文）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积. 2.（2020·新课标Ⅱ文）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． （1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积． 3.（2020·新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ．证明： （1）当 时， ； （2）点 在平面 内． 4.（2020·北京卷）如图，在正方体 中，E为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 5.（2020·江苏卷）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 6.（2020·江苏卷）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 7.（2020·山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 8.（2020·天津卷）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 9.（2020·浙江卷）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF与面DBC所成角的正弦值． 【2019年】 1．【2019·全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 2．【2019·全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 3．【2019·全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB， ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2， ∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2． （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的四边形ACGD的面积. 4．【2019·北京卷文数】如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 5．【2019·天津卷文数】如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， . （1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）求直线AD与平面 所成角的正弦值. 6．【2019·江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 7．【2019·浙江卷】如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ， ， 分别是AC，A1B1的中点. （1）证明： ； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 【2018年】 1．【2018·全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将△ 折起，使点 到达点 的位置，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积． 2．【2018·全国Ⅱ卷文数】 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．[来源:Z+x