第2讲 函数的奇偶性与单调性-2021年高考数学一轮复习讲义（上海专用）

第2讲 函数的奇偶性与单调性 授课类型 同步：函数的奇偶性与单调性 专题：函数的性质 能力：提高逻辑思维能力 教学重点、难点 教学目标 授课日期及时段 教学内容 内容概要 1.函数的性质 (1)奇偶性：如果对于函数 的定义域 内的任意实数 ，都有 ，那么函数 就叫做奇函数；如果对于函数 定义域 内的任意实数 ，都有 ，那么函数 就叫做偶函数.函数 是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称.在公共定义域内，两奇函数之和(差)为奇函数，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之和(差、积与商)为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意：取商时分母不为零)；一奇一偶之和(差)为非奇非偶函数. (2)单调性：给定区间 上的函数 ，若对于任意 ，当 时，都有 ，则称函数 是区间 上的增函数.区间 称为函数 的递增区间. 给定区间 上的函数 ，若对于任意 ，当 时，都有 ，则称函数 是区间 上的减函数.区间 称为函数 的递减区间. 单调递增函数或单调递减函数统称为单调函数.反映在图像上，若函数 是区间 上的增函数，则图像在 上的部分从左到右是上升的；若函数 是区间 上的减函数，则图像在 上的部分从左到右是下降的.复合函数的单调性遵循“同增异减”原则；互为反函数的两个函数具有相同的单调性． 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 2.函数奇偶性与单调性的判断 判断函数奇偶性的等价形式： ， . 判断函数单调性的等价形式： ， . 经典题型精析 (一)奇偶性的判断与证明 例1.判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 同步练习：判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 抽象函数 例2.已知函数 ，当 时，恒有 .求证： 为奇函数. 同步练习：已知函数 满足： 对任意的实数 总成立，且 .求证： 为偶函数. 例3.设函数 的定义域为 ，对任意实数 ，有 ，且 ， . (1)求 的值； (2)求证 是偶函数且 . 同步练习：已知函数 对任意