第4讲 函数的值域与最值-2021年高考数学一轮复习讲义（上海专用）

第4讲 函数的值域与最值 知识概要 (一)最大(小)值：设函数 的定义域为 .如果实数 满足：①对于任意 ，都有 (或 )；②存在 ，使得 ，则 为函数 在 上的最大(或最小)值. (二)二次函数的最值 设 .当 时， 有最小值， ；当 时， 有最大值 . 二次函数在闭区间上的最值 设 ， . (1)当 时， 的最大值总在区间端点处取到，即 . 的最小值有如下两种情形： 若 ，则 ； EMBED Equation.DSMT4 ，则 . (2)当 时， 的最小值总在区间端点处取到，即 . 的最大值有如下两种情形： 若 ，则 ； EMBED Equation.DSMT4 ，则 . (三)求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和，从而估计出 的下界，进而求出最值. (2)判别式法：把所求最值的函数放到某个一元二次方程的系数上，利用判别式求出这个函数的上界或下界，进而求得最值. (3)单调性法：如果函数在定义域上为单调函数，可以利用函数的单调性求最值. (4)不等式法：利用基本不等式来求最值. (5)换元法：利用换元法将不易求最值的函数解析式化为易求最值的解析式. (6)反解法：利用互为反函数的两个函数的定义域和值域互换的关系，通过求反函数的定义域求出原函数的值域或最值. (7)数形结合法(几何法)：根据函数的结构特征，构造具有某种几何意义的图形协助求解函数的值域或最值. 经典题型精析 (一)配方法：通过将函数经过适当变形，配成完全平方的形式，进而根据定义域求出值域. 例1.设 是正实数，求函数 的最小值. 举一反三：已知不等式对于上的一切恒成立，求的取值范围。 例2.已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值. 举一反三：(1)(2013重庆理) EMBED Equation.DSMT4 的最大值为( ) .9 . .3 . (2)已知定义在闭区间 上的函数 .问：当 在什么范围内取值时， 的最大值是3且最小值是2? (3)若实数 满足 ，求 的值域. (二)单调性法：利用所学初等函数的单调性，再根据定义域求出值域或最值.对于形如 ( 为常数， )或形如 的函数利用基本不等