专题1.3 正方形的性质与判定（讲练）-简单数学之2020-2021学年九年级上册同步讲练（北师大版）

专题1.3 正方形的性质与判定 典例体系 一、知识点 二、考点点拨与训练 考点1：应用正方形的性质进行计算、求解 典例：（2020·重庆万州�初二期末）已知如图1,四边形是正方形， ． 如图1,若点分别在边上,延长线段至,使得,若求的长； 如图2，若点分别在边延长线上时，求证： 如图3,如果四边形不是正方形，但满足且，请你直接写出的长． 方法或规律点拨 本题主要考察了全等三角形的证明及性质、勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，找出全等三角形，并用对应边/对应角相等的定理，解决该题． 巩固练习 1．（2020·北京市第二中学分校初二期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 2．（2020·湖北孝南�初二期末）如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．其中，所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 3．（2020·湖南隆回�初二期末）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠DCP度数是_________． 4．（2020·河北青龙�初二期末）如图，为正方形内部一点，且，，，则阴影部分的面积为_______． 5．（2020·吉林长春�初三其他）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的__________． 6．（2020·山东中区�济南外国语学校初二期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，H是AF的中点，那么CH的长是 ． 7．（2020·安徽和县�初二期末）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求AB的长． 8．（2019·河南宜阳�初二期末）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，为等边三角形，求的面积． 9．（2020·河北景县�初二期中）如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN， 连结AM、BD． （1）AM与BD的关系是：________． （2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值． 10．（2020·宁夏原州�初二期末）如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F． （1）求证：OE=OF； （2）如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 考点2：正方形的判定 典例：（2020·湖北孝南�初二期末）如图，在一次数学兴趣小组活动中，一位同学用直尺和圆规对矩形进行了如下操作： ①作的平分线交于点； ②过点作交于点过点作交于点． 请你根据操作，观察图形解答下列问题： （1）求证：四边形为正方形； （2）若，求四边形的面积． 方法或规律点拨 本题主要考查了基本作图以及正方形的判定，掌握等腰直角三角形的性质以及正方形的性质是解决问题的关键． 巩固练习 1．（2020·湖南隆回�初二期末）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④ 2．（2020·甘肃麦积�初二期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是正方形 3．（2019·湖南长沙�初二期末）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF， 则下列结论： ①△EBF≌△DFC； ②四边形AEFD为平行四边形； ③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形． 其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的番号）． 4．（2020·湖南渌口�初二期末）如图，菱形EFG