2.2 基本不等式-2020-2021学年高一数学卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）

第二节　基本不等式 一、知识点归纳 1.重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2.基本不等式 如果a>0，b>0，有≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.基本不等式与最值 已知x，y都是正数，则 ①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 二、题型分析 题型一 对基本不等式的理解 【例1】给出下面四个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【规律方法总结】 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式1】．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 题型二 利用基本不等式比较大小 【例2】(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 【规律方法总结】 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式2】．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 题型三 利用基本不等式证明不等式 【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 【规律方法总结】 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式3】．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【变式4】．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 题型四 利用基本不等式求最值 【例4】(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 【规律方法总结】 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________