专题03 导数及其应用-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解

专题03 导数及其应用 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， 因此，所求切线的方程为 ，即 . 2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+ 【答案】D 【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ， 函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 由于直线 与圆 相切，则 ， 两边平方并整理得 ，解得 ， （舍）， 则直线 的方程为 ，即 . 【2019年】 1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A． B．a=e，b=1 C． D． ， 【答案】D 【解析】∵ ∴切线的斜率 ， ， 将 代入 ，得 . 故选D． 2．（2019·天津卷）已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立， 令 ， 则 ， 当 ，即 时取等号， ∴ ，则 . 当 时， ，即 恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 则 时， 取得最小值 ， ∴ ， 综上可知， 的取值范围是 . 故选C. 3．（2019浙江卷）已知 ，函数 ．若函数 恰有3个零点，则 A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 【答案】C 【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点； 当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b， ， 当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意； 当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： ∴0且， 解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3， 则a>–1，b<0. 故选C． 4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线 在点 处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 所以切线的斜率 ， 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线 的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由 ，得 ， 设斜率为 的直线与曲线 切于 ， 由 得 （ 舍去）， ∴曲线 上，点 到直线 的距离最小，最小值为 . 故答案为 ． 6．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ . 【答案】 【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点 ，则 . 又 ， 当 时， ， 则曲线 在点A处的切线为 ， 即 ， 将点 代入，得 ， 即 ， 考察函数 ， 当 时， ，当 时， ， 且 ， 当 时， 单调递增， 注意到 ， 故 存在唯一的实数根 ， 此时 ， 故点 的坐标为 . 7．（2019·北京卷）设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得a的取值范围. 若函数 为奇函数，则 即 ， 即 对任意的 恒成立， 则 ，得 . 若函数 是R上的增函数，则 在R上恒成立， 即 在R上恒成立， 又 ，则 ， 即实数 的取值范围是 . 【2018年】 1．（2018·全国Ⅰ卷）设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，化简可得. 故选D. 2．（2018·全国Ⅱ卷）函数 的图像大致为 【答案】B 【解析】 为奇函数，舍去A； ，∴舍去D； EMBED Equation.DSMT4 时， ， 单调递增，舍去C. 因此选B. 3．（2018·全国Ⅲ卷）函数 的图像大致为