14 《直线》重点知识梳理-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 家《直线》重点知识梳理 □李刚 知识梳 5.两条直线的交点的求法 1.直线的倾斜角 直线41:4x+B1y+C1=0,l2:x+B2y+C2=0 (1)定义:在平而直角坐标系,对于一条与x轴则l2与l2的交点坐标就是方程组 Ajx+BLy+C=0 相交的直线,将x轴绕交点按逆时针方向旋转到和直 重合时所转的最小正角,称之为直线的倾斜角.当的 线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为Q; 6.三种距离公式 (2)范围:直线L偭斜角的取值范围是[0,) P 1P2 点之间的距高 d 2'm (1)直线l的倾斜角为a(a≠5),则斜率k= 点P( By-C-0的距离 42|B 平行线Ax+By+(=0与 (2)P1(x1,y1),P 在直线l上,且x1≠ Ax|By|C2=0间距离 则l的斜率k=22 注:1.由一般式确定两直线位置关系的方法 3.直线方程的五种形式 直线方程1:A1xB1y1C1=0(41B6≠0),b2: A2x+B2y-C2=0(4+B≠0) 适用范圃 l1与b垂直A1A2+B1B2-0 yy A1B2-12B1-0且A1(2-A2C≠0(或 截式 kxi b B1CgB2C1≠0) 两点式 不含直线x=x1(x≠r) l1与l相交A1B-AB1=0 y一y-和直线y-y1(y≠92 与b重合AB一B二0AC-A1C=0(威 截距式 不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 2.屮心对称冋题的两种类型反求解方法 一般式AxBy|C=0 平面内所有直线都适用 (1)点关于点对称 (A+B2≠0) 若点M(xv)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则 4.两条直线平行与垂直的判定 巾中点坐标公式得{-'进而求解 (1)两条直线平行 =2 ①对」两条不重合月斜率存在的直线l,l2,若其 (2)直线关于点的对称,主要求解方法足 斜率分别为k1,k,则有l1∥l2钟k1=k; ①在已知直线上取两点,利用屮点坐标公式求出 ②当直线l1,b不重合且斜率都不存在时,l1它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直 线方程 (2)两条自线垂直 求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由 ①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k 点斜式得到所求直线方程 有l⊥2k,·k2=-1; 3.轴对称问题的两种类型及求解方法 ②当其屮一条直线的斜率不存在,而另一条直线 (1)点关于直线的对称 的斜率为0时,1⊥ 若两点P1(x,y)与P2(x2,y)关于直线l:Ax 47 重点解析 数学 By+C=0对称 例2(1)若直线ax+2y-6=0与x+(a-1 +B(2 a2-1=0平行,则a 方程组 (2)已知经过点4(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1 y2 yI 与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线2五相垂 可得到点P1关于对称的点P2的坐标( 直,则实数a的值为 解析:(1)因为两直线平行,所以有(-1)-2 (其中B≠0,≠x2) 0,且2(a2-1)+6(-1)≠0,即a2 且 (2)直线关于直线的刈称 ①若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求+3a40,解得=2或 出该点关于轴的对称点然后用点斜式求解 (2)l的斜率k 若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再 卣线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点 当a≠0时,2的斜率点=2 式求解 二、典型例题 所以k1k 1,即a l,解得a=1. 例1(1)直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值 当a=0时,P(0,1),Q(0,0),这时直线l为y 范围是 轴,A(-2,0),B(1,0),自线l为x轴,显然⊥l2 A.0 综上可知,实数a的值为1或 评注:当直线方程中存在字母参数时,不仅要 虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的 (2)已知线段PQ两端点的坐标分为P(-1,1)特殊情况同时还要注意x,y的系数不能同时为零这 和Q2,2),若直线:x+my+m=0与线段PQ有交一隐含条件, 点,则实数m的取值范围是 例3(1)求过点A(1,3)斜率是直线y=-4x 解析:(1)囚为直线 slfia+y+2=0的斜率k 的斜率的的直线方程 sina,又-1≤sin≤21,所以1≤k≤1.设直线 sino y+2=0的倾斜角为0,所以一1≤tn0≤1,而0∈ 2)求给过点A(5,2),且在x轴上的截距等丁 在y轴上截距的2倍的自线方程 [0,x),故倾斜角的取值范围是[0,4]∪L4,x )求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程 如图所示,直线l:x+my 解析:(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4 十m=0过定点A(0,-1) 3=-3·又直线经过点A(1,3),因此所求直线 当m≠0时,kQA 程为 2(x-1),即4x+3