20 解立体几何问题蕴含的数学思想-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 解丘体几何问题蕴含的数学愿想 口秦振孙芹 数学思想方法是从数学內容提炼出来的数学股定理、正弦定理和余弦定理解三角形后,将数量关 知识的精髓,是将知识转化为能力的桥梁,解决立体系转化到几何体的棱长或球的半径,再求出结果 几何问题经常川到各种基本数学思想,掌握这些数学 二、分类讨论思想 思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力.下 分类讨论思想的特点就是·种逻辑划分.在解决 面介绍数学思想在立体几何中的应用,供大家参考 立体几何问题时,按照某一确定的标准在比较的基础 函数与方程思想 上,将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分 利用函数或方程的有关性质,解决立体几何的有分别解决.比如几何形状、位置变化的不确定性,需要 关问题.或以运动和变化的观点,分析和研究立体儿根据图形的特祉进行分类讨论 何问题的数量关系,即通过函数或方程的形式把问题 例2过二面角aEF8内一点P,作PA⊥a于 表示出来并加以研究从而使问题获得解决. A,PB⊥β于B,若PA=5,FB=8AB=7,则二面角 例1已知=棱锥PABC的四个顶点在球O的xEFp的大小是 球而上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角 120D.60°或 E;F分别是PA,AB的中点 分析:因为PA=5,PB=8,所以点可能在二面 FF=90°,则球O的体积为() 角aEF3内,也可能在二面角aEFB外,如下左图及 B.4√6 下右图所示,因此,求解吋要分两种情况讨论 解:(1)如下左图所小,点B在二面角aEFB内 分析:如图,设 则A 时,设平面PAB与棱EF交点O,连接OA,OB.则 EP=EF=x.在△AEC和△PEC EF⊥平面PAB,OB⊥EF,O1⊥EF,所以∠AOB就 巾余弦定理和诱导公式,得AE+ 是二面角aEFB的平面角四边形PAOB中,PA O,PB⊥OB.所以∠AOB=180-∠PB EP+EC PC 即x2+EC-4 EC+ 而cos∠APB=3+82-7 所以∠APB 4x2,解得EC2=x2+2 60.所以∠AOH=120 因为∧ABC是边长为2的正三角形,所以CF= aP 3.在R△FFC中,(F十FF 即x2x2+2 3,解得x=32所以PA=PB=PC=2 AB=HC=AC=2,所以PA⊥PB,AP⊥P (2)如上右图,点P在二面角aEFB外时,设平 PB⊥PC因此三棱锥PABC与棱长为2的方体 面PAB与棱EF交于点O,连接OA、OB.则EF⊥平 有相同的外接球O,外接球的直径2R=√(√2)2×3面PAB,OB⊥FF,AO⊥EF.所以∠AOB就是二面角 √6,所以外接球O的体积v=?x(2)=6m arEFβ的平面角的补角.因为∠PAO=∠PBO=9 所以四点P,A,B,O在PO为直径的圆上所以 故选D ∠AOB=∠APB=60.所以二面角aEF3的平面角 明:求几何体的体积和表面积,一般要通过勾120