11 数列中恒成立问题（数学部分）-2020年7-8月刊高三语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 数列中恒成立问题 口朱秋萍 高考数列的解答题经常会老查数列中一类恒+1均成立 成立问题、存在性问题,而这些问题往往与数论、所 下面讨论数列12}的最大值和数列 数、方程、不等式等知识集于一体,蕴含了丰富的数学 思想,在近年省内各市模拟卷中常有出现以下是笔的最小值(n=2,3,…,m+1 者对数列屮一类恒成立问题的研究,希望能帮助何学 ①当2≤n≤m时,=22 们吏好地掌握这类问题的解题方法 题型一:利用函数、方程的思想解决数列 n(m-1) 中有关恒成立,存在性求参数问题 当1<g2m时,有望≤q≤2, 例1设{an是首项为a1,公差为d的等差数 从而n(q-q-1)-q+2>0 列,bn}是首项为,公比为q的等比数列 因此,当2≤n≤m+1时,数列{}单调 若|a-b2≤b1对t 递增 . 1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b1>0,m∈N“,g∈(1,2],证明:存在 数列{的最大值为m d∈R,使得|a-bn≤b1对n= 1均成 ②设f(x)=2(1-x),当x>0时, 立,并求的取值范围(用b,mg表示) 解:(1)由条件知:an=(n1),bn=2n-1 所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1 因为|a h1对n=1,2,3,4均成立, 当2≤n≤m时 1对n=1.23,4均成立 得3≤2 因此,d的取值范围为3,2 因此,当25m≤m+1时,数列{}单调遍减 (2)由条件知:n=b1+(n1)d,hn1=b1q 数列 的最小值为 若存在,使得|a2-b≤b1(n=2 成立 因此,d的取值范围为[ 即|b2+(n-1)d-bq1|≤sh2(n=2,3,…,m+1) 点评:将数列中恒成立问题、存在性问题转化为 ,m+1时,d满足 数列的最大(最小)项问题,研究数列最大(最小)项的 借助于函数的思想有:1.直接作差(或作商)研究数列 的单调性.2.构造函数,利用函数单调性研究数列 调性 因为9∈(1,2],则1<q-1≤q≤2, 变式1:口知数列{an}、{b2}满足 b jb 十1均成立 1,7 因此取d=0时,|an-bn|≤b对 47 重点解析 数学 ,求数列{cn}的通项公式 设S +4)(n+ 式4S<b2恒成立时,求实数a的取值范围. (n+,3)=1 + 解 巾于n∈N,所以g(n)<0恒成立 所以g(n)递减,所以g(n) 变式2:定义首项为1且公比为正数的等比数 为“M-数列 已知等比数列{an}(n∈N)满足 数列cn:是以一4为首项,一1为公差的等差a2-42+2=0,求证:数列an为M数列 数外 已知数列{:(n∈N“)满足 (3)解法一:出于 b-,其中S3为数列的前n项和 所以 ,从而an=1-bn 求数列{bn}的通项公式 ②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn(n∈ 142+a2 N”),对任意正整数k,当k≤m时,都有C≤次≤c+ 成立,求m的最大值. 解:(1)设等比数列{an}的公比为q所以 Masb 解 由条件可知(a-1)n2+(3a-6)-8<0恒成立 因此数列{an}为“M-数列 即可满足条件,设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)H-8, ①当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立 (2)0闲为飞一22所以 ②当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立 出b=1,5=b,得士=一2,则A 当“<1时,对称轴 得S bIntI )<0,f(n)在(1,十∞)上单调递减 当n≥2时,由b=S2-S1, f(1)=(a-1)n2+(3a-6 1)+ 得bn a<1时,4aS2<b2恒成立 整理得b1+bn1=26 所以数列{n是首项和公差均为1的等差数列 1时,4a52<b2恒成立 因此,数列{}的通项公式为 解法二:出于G=b2 ②由①知,=更,n∈N 所以b 因为数列{n为“M-数列”,设公比为q,所以 =n+3,从而a2=1-b= 所以q1≤≤,其中良=1 当k=1时,有q≥1 48 重点解析 数学 时 当n=1时,2a1=251 f(x)=0,得 列表如下 (2)解 f( 极大值 当n≥2时 因 In2 In8. Ing 所以f(k 由①一②,得 取q=3,当 时,≤ng,即 经检验知￠1≤k也成立 因此所求m的最大值不小于 若m=≥6,分别取k=3,6得3≤q3,且q≤6,从 数列{}是以首项为 公差为l的等差 数列 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为 1+1×(n-1)=n,∴ . 点评:本题考查代数推理,转化与化归 当n=1时,上式显然成立 用数学探究与解决问题能力.第二问中的②利用分类 讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性,从而 (3)证明:由(2)知,4n=n2,n∈N 求出函