13 圆锥曲线中的最值与范围问题（数学部分）-2020年7-8月刊高三语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 圆雒曲线中的最值与范圊问题 □石鹏 与圆锥山线有关的范围最值问题是解析几何中临界条件,进而求出最值 典型的问题,也是教学过程中的重点与难点,更是高 二、单变量最值问题转化为函数最值 考中热点,直线或圆锥山线运动变化时,点、直线、山 建立目标函数求解圆锥山线的范围、最值问题 线之间的关联受到一定范闱的制约,于是便产牛了对关键是选择合理的变量 范围的求解、最值的探索,知识上不仅涉及到圆锥曲 例2如图,在平面直角坐标系xOy中,已知裤 线的性质、山线与方程关系的研究,还能综合应用函 数、三角、不等式等有关知识方法上不仅仅涉及到圆圆C:x1y=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 锥山线的定义的转化,还涉及到数形结合、函数与方A(2,0),A2(2,0),右准线方程为x=4.过点A1的 程转化与化归的思想方法的综合应川,同时还注重直线交椭圆C于x轴上方的点P,交椭圆C的有滑线 与平面向量、函数、二次方程、不等式的融合与渗透,于点D.直线A2D与椭圆C的另交点为G,直线 因而这类问题考奁范围广泛,命题形式新颖,属于解G与直线A1D交点H 析儿何中的拉分题和压轴题.与圆锥曲线有关的范 (1)求椭圆C的标准 . 围、最值间题有关类型的题目,可以分成以下四类方程 题日 )H⊥A·D),试求 利用圆锥曲线定义求最值 直线A1的方程; 借助园锥曲线定义将最值问题等价转化为易求 (3)如果A1点=入A1卢,试求λ的取值范围 易解、易推理证唭的问题来处理 解析:(1)由椭圆C的左、右顶点分别为 例1已知A(1,0),B(2,2)是椭圆1=1 右准线方程为x=4得 内的个点,M足椭圆上的动点,求MA|+|MH的 最大值和最小值 4,故c=1,6 解析:巾已知得A(4,0)是椭圆的右焦点 设左焦点为F(-4,0),根据椭圆定义得 所以稀囡C的方程为4+3=1.① AA+MB MFIHMBI (2)设直线A1D:y=k(x+2)(k>0)② =10+MB|-|MF 则与右准线x=4的交点D(4,6k) 所以设直线A2D:y=3k(x-2) 以|MB|-MF|∈[-2√10,2√10] 故|M4|+MB的最小值和最大值分别为10 联业①得413=1 v=3(x-2), 2√10和10+2 解得G( 评注:涉及到圆锥曲线焦点的题目,应想到圜推 曲线定义转化条件,使得复杂问题简单 则直线OG的斜率为k;= 这类题目解题步骤为:第一步,根据圆锥曲线的 定义,把所求的最值转化为平面上两点之间的距离 因为GX⊥AD,所以,元6 点线之间的距离等;第二步,利用两点间线段最,或 垂线段最短,或三角形的边性质等找到取得最值的 又k>0,所以k 55 解题方法 撼学 例3设椭圆C:2+=1(a>b>0)的左右焦 所以M1= 点分别为F1,F2,离心率是e,动点P(xa,y)在椭圆C 将点P(x0,3代入椭园的方程得+=1 上运动当PF2⊥x轴时,x2=1,y=e. (1)求椭圆C的方程; 代入直线PA的方程得x0=my-1 (2)延长PF1,PF2分别交椭圆C于点A,B( 所以 不重合)设AF=AF1,BF=F2,求p的最 由A广=F1,得-y2=y, 解:(1)由 轴时 (m2+2) +1)2+ 1,可知c=1 代入椭圆方 (x+1)2+2(1 程得 同理可得 ∈[√2,2 由e= 故λ+ 当且仅当x=0时取等号,故λ+p的最小值 解得 所以椭园C的方程为少+y2=1 评注:笫一个方法,设点利用A广=AF1F,BF= (2)方法一:设A(x1,y1),由AF=入F1, 2下得到点之间的关系,用,y表示出点A,B的 坐标,代入椭圆的方程,得到用两个变量x,来表 . 再由“点在椭圆上”可得用一个变量x,或者 代入椭同方程 胸来表示λμ第二个方法是通过设点写出直线方 程,再将直线方程与楠圆联立,解出另外一点的坐标 同样得到用两个变量x0·y来表示入,p我们还可以 又巾156=1,得 设P(2c,sin)得λ 两式相械得(入+1)(2x++1) cxs9013-2√2o9 这个方法只有一变量,并且在解答过程中,会出现 因为λ|1≠0,所以2x:A|1=2(1-A sin0十cos〃=1,运算过裎比较简洁.本题由于直线 故λ PA,PB经过焦点,也可以借助于圓锥曲线的第二定 义,直接用变量x0,来表示A,,同样得到 同理可得=3-2x,∈[=2 运用基本不等式求解入十g的最小值 四、双参数最值问题 当且仅当x=0时取等号,故λ+p的最小值 该类问题往往有三种类型:①建立两个参数之间 的等量关系和不等式关系,通过格体消元得到参数的 取值范围;②建立两个参数的等量关系,通过分离参 方法二:由点A,B不重合可知直线PA与x轴不数,借助一个变量的范围,确定另一个参数的取值范