14 学会分类，突破高考函数与导数含参讨论题（数学部分）-2020年7-8月刊高三语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 所以g(x)之g(e-+1)=(a-1)e1-ae-+1=1 当a≥g时,f(x)没有极值点 因为0≤z≤1,所以1e1=≥0,则g(x)=0, 当0<4≤8时,f(x)有2个极值 即xl1x≥ax-1,当且仅当x=1,a=1时取 等号 2)巾(1)可知当且仅当a∈(0,Q)时f(x)有极 再证:ax-1≥ asinI-1. 小值点x1和极大值点x2,且x1,x是方程的两个止 则h(x) 所以h(x)在(0,十)上单调递增,则h(x) 根,则x2+x2 h2(0)=0,即x>sinx f(n1)+f(z)=(x+x2)-a[(x+x2) 因为0≤≤1,所以x-1 dESIEL-1,当且仅当 a=0时取等号 2 x1.z:_-(Inx +Inz2)=In(2a)+atl=Inataa t 又 xIna≥=ax1与ax1= asina1两个不等m211,(0≤a<n), 式的等号不能同时取到,即xhnx> asine-1, 令g(a) 函数极值问题中的参数讨论 例2已知函数f(x)=-lnx-ax2+x(a=0) (1)讨论函数f(x)的极值点的个数 ∴g(a)在(0,)上单调递减,故g(a)>g 若函数f(x)有两个极值点x,x,证明: f(x1)|f(x2)>>3-212 解析:(1)∵函数f(x)=-lnx-ax2+x(a≥0) 点评;1.对于解析式中含有参数的函数求极值 有时需要分类讨论后解决问題.讨论的思路主要有 数是否影响∫(x)零点的存在;(2)参数是否影 . 响∫(x)不同零 零点与函数定义域中的间断点) 的大小;(3)参数是否影响∫(x)在零点左右的符号 当a=0时,(x (如果有影响,需要分类讨论 在研究函数极值问题的时候,要注意可导函数 当x∈(0,1)时,f(x)<0,f(x)单调递减 f(x)在 取得极大值的充要条件 当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,f(x)单调递增 且存在一个x的邻域(x-0,3x+a),当x∈(xn 当x=1时,f(x)有极小值;当 故f(x)≤20 数在x=x0处取得极小值的充要条件是: ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,故此时f(x)无(x)=0,且存在一个x的邻域 等的8时,△>0,方程f(x)=0有两个不(2°,x)时,(x)<0,当x∈(x,x0+o)时, 极值 当 针对性训练2:已知数f(x)=n2-ax,g(x) (1)求函数f(x)的极值点 则当x∈ 及x∈ (2)当4>0时,函数h(x)=∫(x)-g(x)恰有 十∞)时,∫(x)<0,f(x)单调递减 个不同的零点,求实数a的取值范围 )时,/(x)>0 详细解答:1因为f(x)=lns-ax (x)单调递增 所以f(x)=nb ∴f(x)在z=1处有极小值,在x=x2处有极 大值 所以∫(ax) 综上所述:当4=0时,f(x)有1个极值点; 当≤0时,(x)>0,所以函数f(x)无极值点