09 导数中的分类讨论题型分析（数学部分）-2020年4月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 导数中的分类讨论题型分析 徐彩娥 导数是研究函数的图象和性质的重要工具,随着2.这两个根是否都在定义域(-1,+∞)内呢?这需 高考对导数考查的不断深人,含参数的导数问题成为要对参数b的取值进一步分类讨论 」历年高考命题的热点.由含参数的导数问题在解 答时往往需要对参数进行分类讨论,如何进行分类讨 当b<0时,x1= 论成为绝大多数同学答题的难点 在众多的含参数导数问题,根据所给的参数的 1,由f(x)>0可得x>x2,由 不同范围去讨论数的单调性是最常见的题凵之 f(x)<0可得1<x<x2,所以f(x)在(1,x)上 求函数的极值、最值等问题最终也需要讨论函数单递减,在(x3 上递增,所以当b<0时,(x)在 调性,对于含参数导数间题的单调性的分类讨论,常(-1,+∞)上有唯一极小值点a2 20 见的分类讨论主要有以下几种题 判别式引起的分类讨论 当0<b≤时,x= 例1设函数f(x)=x2+bn(x+1),其中b≠0 (1)当 时,判断函数f(x)在定义域上的单 1,由f(x)>0可得-1<x<x 调性 或x>x2,由f(x)<0可得x1<x<,所以f(x)在 求两数f(x)的极值点 (1,x)上递增,在(x1,x)上递减,在(x2,+∞)上 解析:(1)函数f(x)=x2+6ln(x+1)的定义城为递增,所以当0<<时,()在(-1,+∞)上有 (-1,|∞),(x)=2xb +2rt6 个极大值点x 和一个极小值点 令g(x)=2x2|2x|b,则Δ=4-8 当b时,△0,所以g(x)在(-1,+∞)上恒 大于0所以f(x)>0,于是当b>时,函数f(x)在 综上所述,当bx0时,f(x)在(-1,∞)上有唯 1+√126 定义域(-1,十C∞)上递增 的极小值点x2 2;当0≤<b时, (2)首先考虑g(x)=0是否有实根 f(x)有一个极大值点x1 和一个极小 ①当 即△<0时,由(1)知函数f(x)无极 值点 值点 1=2;当b≥时,函数f(x)在 ②当b=1,即△=0时,g(x)=0有唯一的实(1,+∞)十无极值点 根,g(x)≥0,于是f(x)≥0在(-1,十∞)上恒成立, 评注:当求极值点时涉及合参数的二次方程 所以函数f(x)在(-1,+)上递增,从而函数f(x) 通过对判别式Δ的讨论,来确定极值点是否存在和 极值点的个数 在(-1,|∞)上无极值点 次函数对称轴与给定区间引起的分 ③当,即△>0时,g(x)=0有两个不同的类讨论 根 其 例2已知函数(x)=-2x3+2ax2+3x,令 28 解题方法 f(x)在区间 )上单调递 ②当a>0时,1-a<1,由f(x)>0,解得x<1 a或x>1,所以函数f(x)在区间(∞x,1-a),(1 +∞)上单调递增由f(x)<0,解得1-a 所 以函数f(x)在区间(1-a,1)上单调递减 (2)巾f(1)=0可得c-a-b-1=0,于是 ③当a≤0时,1 由f(x)>0,解得x<1 a-1,又f(0) 以函数f(x)在区间(0,1)内有零或x>1-a,所以函数f(x)在区间(-,1),(1-a 点则函数f(a)在区间(0,1)内至少有三个单调∞)单调递增出f(x)<0解得1<x<1-a,所 以函数f(x)在区间(1,1-a)上单调递减 综上所述,当a=0时,函数f(x)在区间(一cx (1)知当 2或=2时,函数g(x)f(x)+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在区间 在区间[0,1]上递增或递减,所以不可能满足“函数(-∞,1-a),(1,+∞)上单调递增,在区间(1-a,1) f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求,上单调递减;当a≤0时,函数f(x)在区间(一,1),(1 a,十∞)上单调递增,在区间(1,1-a)上单调递减 (2)由(1)知,①当 时,函数f(x)在区间 3a-2aln(2a)-e+1.令h(x)=3x-2xhn(2x)-e十 Cx,+∞)上单调递增,可知函数无极小值 则h( 2ln(2x).由h 可 当a>0时,出函数f(x)在区间 (1+∞)上单调递增,在区间(1-a,1)上单调递减,可 巾h(x)<0可得 所以知x0=1 A(x)在区间(,9)上递增在区间(,)上递减, 所以f(a)=f(1)=-2+4 解得 所以[h(x)]=()=3()-2(5)[2(5) 又a>0,所以a的取值范围为(0,+∞x) ③当a<0时,函数f(x)在区间(一cx,1 于是函数f(x)在区间(o,1)内至少有二个单调(1-a,+∞)上单调递增,在区间(1,1-a)上单调递 区问 由此解得 g(1)=a+1>0 减,可知x0=1-a,所以f(x0)=f(1-a) 又因为<a 所以 综上所述,a的取值范围为(e-2