10 利用转化思想解存在性问题（数学部分）-2020年4月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 利用转化思想解存在性问题 □万园 存在性问题是数学常见的一类题型,已知存在 数或点满足一定的条件时,求相关参数问题,我们利 当2a 25,即m=13时k=25 川等价转化思想,把这类问题转化成方程有解问题 ∴有在正整数m,k,当m=1,k=61,或=3,k 解不等式问题、两山线位置关系问题、最值问题等等 或m=13,k=25时,使am,an+,a成等比 类型一、存在性问题转化成方程有解问题数列 小结:上述两题都涉及到一个等式中有两个变量 例1已知函数f( 转化成方程有解问题,从而求出变量 若存在正实数m,n,使∫(x)在区间[m,n上的俏域是的范围或取值, m1,n」,求实数a的取值范围 类型二、存在性问题转化成解不等式问题 解:由f(x)=≥0,得f(x)[m,]上是单满 例3已知数列{an}的通项公式a 增函数 是否存在正整数mz,n(]<mn),使得a,an,a2成等… 比数列?若存在,求出所有m和n的值;若不存在,说 ∴m,n是方程a=x的两个不等的正实根,明埋由 分析:首先列出m,n之问的关系式,利用一侧代 即等价」方程 x+1=0在(o,+∞)上有数式的范围求出一个变量的范围结合取整求出结果 成等比数列得 两个不等实数根 化简得 由>0,m2>0得 乂a>0,解得0<a 2n2+1m+1 例2已知数列an}的通项公式an=2n-1,问是 解得1-6<m<1+6,又m∈且m>1 否存在正整数m,k,使得am,以m+,l成等比数列? 2此时n=12 若存在,求出所有m和k的值;若不存在,说叨理出 ∴存在m=2,n=12满足条件 分析:首先列出k,m之间的关系式,分离变量,用 ml表示k,根据整阶性质米确定m的值,从而求出对 类型三、存在性问题转化成两曲线位置关 应的k的值 系问题 解:若存在am,am+2,ak成等比数列, 例4已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两 则(2m-1)(2k-1)=(2m+9) A(-m,),H(m20),若圆C上存在一点P,使得 APB=90°,求m的取值范围 化简得k=m+10 分析:存在点P满足∠APB=90的轨迹是园O ∵m,k是正整数,50要能整除奇数2m 又P在圆C上,所以转化成两圆有交点问题 ∴2m-1只能取1 解:由∠APB=90°,∴P的轨迹是以AB为直径 当2m-1=1,即m=1时k=6 的圆O 解题方法 又P在圆C上,等价于两圆有公共点,即n 进而转化为m≤2(g(x)a 解:由分析,。1-mx+2-(1+lnx) 当然每个题日的等价转化方法也不是唯的,比 1-lnx)(y+1) 如例1中方程 x有两个不等的正实根 十1>0,∴当0≤x<e时,g(x)>0, 也可转化成两H线y=与y=x有两个不同交 g(x)在(0,e)上单调递增; ∴g(x)在(e,+∞x)上单调递减 类型四、存在性问题转化为最值问题 例5已知函数f(x)=(x2-1)hx-2x2+mx e) + 若存在正数x,使得f(x)≤0,求实数m的取值 小结:存在性问题两种情形转化: 范围 ①彐x,使f(x0)≤0→>(f(x))mns0 分析:存在正数x,使f(x)≤0,即(f(x) ②彐x,使f(x0)=0→(f(x)m0. 0,但函数f(x)的解析式比较复杂,可以先分离变量 巾上面的例∫我们发现,把存在性问题通过合哩 得 的等价转化,变成数字常见的函数、方程、不等式 曲线相交等问题,从而轻松解决. 令(x)=lnz 作者:万园,江苏省盐城市明达高级中学 其二工其其其其其其风黑其其其 上接第10页 通读笫二篇文章请你说说第四毀的“草堂,卓 4因为杜甫一生忧国忧民,安史之乱时期史以平 堂,此时此际的草堂在诉说什么呢?”草堂是在诉说着定安史之乱为口征,当他得知官军取得胜利时,那更 什 是喜不白胜。如《闻官军收河南河北》一诗中“剑外忽 7.“风雨飄摇屮的唐工朝抛齐∫杜甫,而历史却传收蓟北,初闻涕汨满衣裳”,就写出了杜甫早就盼龈 于风雨飘摇中造就了屴一个杜甫。”请你说说这两个能早H平定安史之乱。当这一大终于盼来时,他竟激 杜甫”有什么不同? 动得悲喜交加,喜极而哭。“白日放歌须纵酒,青春作 8.第二篇文章在写作上主要运用了对比的方法,伴好还乡”则写出杜甫离开草堂的原因。 请你说说作者写了哪些方面的对比?这些对比在文 略。只耍言之有理即可 中起什么作用 6.(1)一代诗史雨现了一个时代 (2)杜甫的苦寒人生 参考答案 (3)中国历史上人才的成就与命运的二律悖反 世 1.因为来到这里就有无数耳熟能详的诗词回 矛盾冲突) 荡在耳迦,也可以看到可马相如、李白、陈了卧等这些 7.一个是作为政治家的杜甫,要实现“致尧舜 占代大师曾活动过的足迹 上,「使风俗淳”的伟大抱负;一个是作为诗人的杜 这句用在