11 三次函数也重要 性质应用常遇到（数学部分）-2020年4月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 令f(x)=0,得方程3x2-2(1+a)x+a=0 A=4(2-a+l)=4[( 方程有两个不同的根 解析:根据图象特征,不妨设∫(x)是三次多项式 不妨设x≤x2,由f(x)=3(x-a1)(x-x2)可 函数 (x)的图象给出了以下信息: 判断∫(x)的符号如下:当x≤x时,f(x)>0;当x1 (2)导方程两根是0,2(f(x)对称中心的横坐标 ∫(石)足极大值,f(x2)足极小值 是1) 0,故可得不等式 3)在[0,2]上f(x)<0:在(c∞>,]和[2,+ x十x-(1十a)(x十x)十(x1十x2)≤( 由(1)和性质1可排除选项B、D;由(3)和性质1 z1x2]+a(x1+x2 可确定应选C x+x2=(1|a) 例2数f(x)=x3-3x+1在闭区间-3,0] 又巾(1)知 上的最大值、最小值分别是 代入前面的不等式,化简得2a2-5a+2≥0,解得 解析:函数的导方程是3x2-3=0,两根为1和 或 ∵1∈[3,0],则由性质3得 当a≥2时,f(a)+f(x2)≤0成立 f(x)mx =max f(- 3), f(1), ft 解法2:(1)同上 2)设两个极值点为(x1,f(x)),(x,f(x2)),则 故应选C 例3已知b>1 函数f 的图 y=f(x)的对称中心为 象与函数g(x)=x2+bx+c的图象朴切 又∵(x)f(x2f(2)≤0,月1 十、 (1)求b与c的关系式(用c表示b); (2)设函数F(x)=f(x)g(x)在(-∞,+∞)内 有极值点,求c的取值范围 解析:(1)根据题意有f(x)=g(a) a)≤0,易得a≥2或 得 又f(20)=g(2)(b|1)2=4 点评:解法1不仅计算量较大,而且在求解的过 程中很容易出错;解法2是裉据三次函数的对称性 可以快速地得到∫ )≤0,从而有效地避免了复 (2)F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c) 杂的计笄,解题过程筒 ∴F(x)的导方程为:3x+4bx++c=0,由性 例5若两数f(x)=4x-1 质2得:△=4(b2-3 在区间(1,4)为减函数,在区间(6,+cx)上为增函 或 数,试求实数a的取值范围 1+2√c>√3,解得0≤c<74√或c>7+4√3 解析:函数f(x)的导数 故所求c的范围是(0,7-43)∪(7+4√3 令f(x)=0,解得x=1或x=a-1 例4设函数f(x)=x(x-1)(x-a)(a>1) 当a-1≤1即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞x)上 (1)求导数f/(x),并证明f(x)有两个不同的极是增函数,不合题意;当a-1>1 2时,函数 值点x,x 1)上为增函数,在(1 )内为减函 (2)若不等式f(x)+f(z2)≤0成立,求a的取数,在(a1,+c∞)为增函数 值范围. 根据题意,当x∈(1,4)时,f(x)<0,当x∈(6 解法1:(1)f(x)=3x2 +∞)时,f(x)>0所以4≤a-1≤6,解得 解题方法 撼学 故a的取值范围是L5 上单调递减,在(1+,1)上单调递增,在(1 例6已知函数f(x)=ax2+bx2-3x在x=±1 处取得极值 单调递减 (1)讨论f(1)与f(-1)是函数f(x)的极大值还 (3)由已知得f(x)>3m 是极小值 即mx2-2(m|1)x|2>>0 (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求该 切线方 解析:(1)f(x)=3ax2+2x3,依题意f(1) 即x2-2(1 x∈[-1,1(兴) 0,6!3a+2b-3=0 解得 其函数图象的开 f(x)=x2-3x,(x)=3x2-3=3(x+1)(x口向上,由题意()式恒成立 令f(x)=0,得x=-1,x g(-1)<01+2 g(1) 若x∈( 1)∪(1,+∞),则f(x)>0,故 f(x)在(一∞,-1)和(1,十)上是增函数;若x∈ 1),则f(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是减函 数,所以f(1)=2是极大值,f(1)=2是极小值 (2)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线 m<0,此即为m的取值范围 上设切点为M(x:,v),则点M的坐标满足yo=x8 例8(2019全国Ⅲ卷)已知晰数f(x)=2x x.因f(x)=3(x3-1), 故切线方程为y-y0=3(x3-1)(x-x) (1)讨论f(x)的单调性; 注意到点A(0,16)在切线上,则有16-(x8 (2)是否存在a,b,使得f(x)在风间[0,1]的最小““ 1)(0x),化简得x=一8,解得x 值为-1,且最大值为1?若存在,求出a2b的所有值; 2.所以切点为M(-2,-2),故切线方程为9x 若不存在,说明理由 +16=0. 分析:(1)求出导函数,