11 二项式定理复习指南（数学部分）-2020年5-6月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 项式定理复习指南 □张婉娟 一、要点回顾 除性来枣解.另外,若通项中含有根式,一般把裉式化 1.二项式定理 为分数指数幂,以减少计算中的错误 考点2求二项展开式中特定项的系数 项式定理 (a-b)-(ya”+(a-1b+…+(a-r 十C(n∈N+) 例2(1)求(x1)4的展开式,x的系数 项展开式 (2)求(x2+x+y)3的展开式屮,x5y2的系数 的通项公式 解:(1)由题意可知 项式系数(h(r∈0,1,2 T+1=((x)4"(-1)r=((-1)x 2.二项式系数的性质 令-。=1解得r=2,所以展开式中x的系数为 (l)0 时,C与Cx-的关系足 C(-1)2=6 (2)二项式系数先增后减屮间项最人 (2)方法一利用二项展开式的通项公式求解 当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大, (x2+x+y)5=[(x2+x) 最大值为C;当m为奇数时第”1项和”3项的 含y的项为T=Ce(x 其中(x2|x)中含x的项为(x4·x=(x 项式系数最大,最大值为C和C2 所以x5y2的系数为(=30 (3)各二项式系数和:C+C+C数+…+Cm=2 方法二利用组合知识求解, C+C+C+…=Cn+C+C万+…= 十x+y)为5个x2+x十y之积,其中有两 考点展示 取y两个取x2,一个取x即可,所以xy2的系数 考点1利用二项式定理研究有关特定项 为C彩(=30 例1求(x—x)展开式的有理项 点评:求形如(a|b)(n∈N)的展开式中与特 解:二项式的展丌式的通项 项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项 公式T叶+1=b,常把字母和系数分离开来(注意 令6∈Z,且r=0,1,2,…,9 符号不要出错) 笫二步根椐题目中的相关条件(如常数项耍 当y=3时,4=(-1)3C3x4=-84x4 指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程 9时,1 (组)或不等式(组),解出 所以(xx)展开式中的有理项是:第4项, 求形如(a+b)“(c+a)4(m,n∈N)的展开式 84x2;第10项 与特定项相关的量的步骤 点评:通项公式的主要作用是求展开式中的特定 第一步,根据二项式定理把(a+b)与(c+d 项,常见的题型有:①求第k项:②求含x(或xy)的分别展开,并写出其通项公式 项;③求常数项;④求有理项.其中求有理项时一般根 第二步,根据特定项的次数,分祈特定项可由(a 据通项公式所得到的项,其未知数的指数恰好都是整+b)与(c+d)的展开式中的哪些项相乘得到 数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的 第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项 数报据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整或相关量. 42 重点解析 撼学 考点3求二项式系数或系数最大的项 系数和 例3已知(√+x)的展开式的系数和比(3x (1)二项式系数的和为(1(10+…十C=2 的展开式的系数和大992 (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)1=(-1)10 (1)求在(2x-1 的展开式中,二项式系数最 奇数项的二项式系数和为C+ 大的项 偶数项的二项式系数和为C1+C+…+C0 (2)求在(2x1 )2的展开式屮,系数的绝对值 (4)令x=y=1,得到 最大的项 解:由题意得2n-2=992,解得n (1)(2x)的展开式中第6项的二项式系数 ①十②得2( 最大该项为T=(·(2x) 奇数项系数和为1+5 (2)设第r+1项的系数的绝对值最大 ①-②得2(a1+a2+…+a9)=1-5, 偶数项系数和为 1)·CY·2 (5)x的奇次项系数和为a1+a:+a3+…+a 10 ;x的偶次项系数和为ao+a2+a2+…+a1 1)≈≥1 点评:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重 要的方法,对形如(x+b)2、(ax2+b+c)(a、b∈R) 10,且r∈N,∴ 的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值 故系数的绝对值最大的项是第4项,该项为 需 1即可;对形如(x+by)y(a,b∈R)的式子求 r;=C(x)(-1)3=-15360x 其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可 2)若∫ 点评:(1)注意“系数最大”“二项式系数最大”及 系数绝对值最大”的区别 f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之 (2)要求展开式的系数的最大值,在系数均为正和为a+a2+a+…=/()+(=12,偶数项系数之 数的前捉下,只需比较相邻两个系敛的大小,即设第 和为a1+ f(1三f(1 T-1的系数≥T的系数, r+1)项的系数最大,则 的系数 的系数 考点5利用二项式定理整除和佔算 考点4二项式系数的和或各项系数的和的问题 例5(1)已知2"+3·3+5m-a能