12 排列与组合题型分析（数学部分）-2020年5-6月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 甲校派2人,其余4人分为(1,3),(22)两组,故 对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它 有C·(C·A十()=10(种) 们的顺序如何,都是一种情况,所以分組后一定要除 甲校派3人,其余3人分为(1,2)一组,故有C·以A(n为均分的组数),避免重复计数 ②对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀 甲校派4人,其余2人分为(1,1)组,故有C 分组的阶乘数,即若有m组元素个效相等,则分组时 A2=10(种), 应除以m!,分组过程中有几个这祥的均匀分组,就要 根据分类计数原哩,可得150|110|6011 除以几个这样的全排列数 60(种 ③对于不等分组,只需先分组,后排列 组 故答案为:360. 时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全 点评:解决简单的排列与组合的综合问题的排列数 思路 对于相同元素的“分配”问题,常采用的方法 1)根据附加条件将要完成事件先分类 是“隔板法 (2)对每一类型取出符合要求的元素组合,再对 题型五、涂色问题 取出的元素排列 例5如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点涂 (3)由分类加法计数原理计算总数 上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5 题型四、分组分配问题 种颜色可供使用,求不同的涂色方 例4在巾美组织的暑假中学生交流会结束时,法种数 中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙僧、唐僧、白龙马彩 解析;法1:以S、A、B、C、D顺 色陶各一个送给来国的美国屮学生汤姆、杰克、序分步涂色 索菲亚,每个学生至少·个,且猪八戒不能送给索菲 第一步,S点涂色,有5种 亚,则不同的送法有 方法 解析:根据索非亚所得彩色陶俑个数分为三类 第二步,A点涂色,与S在同一条棱上,有4种 第1类,索菲亚得3个,先在除猪八我外4个中方法 选3个送给索非业有(种不同方法,再将剩余2个 第三,B点涂色,与S、A分别在同一条棱上,有 分别送给杰克与汤姆有A种不同方法,根据分步计3种方法; 数原理共有(A种不同方法 四步,C点涂色,也有3种方法,但考虑到D点 第2类,索菲亚得2个,先在阶猪八戒外4个中与S、A、C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类 选2个送给索菲亚有C种不同方法,再将剩余的3当A与C同色时,D点有3种涂色方法;当A与C不 个彩色陶俑分成两组有C种不同的分组方法,再将同色时,因为C与S、B也不同色,所以C点有2种涂 这两组分别送给杰克与汤姆有A2种不同方法,根据色方法,D点也有2种涂色方法.由分步乘法、分类加 分步计数原理共有CGA2种不同方法 法计数原理得不同的涂色方法共有5×4×3×(1×3 第3类,索菲亚得1个,先在除猪八戒外4个中+2×2)=420(种 选1个送给索菲亚有C种不同方法,再将剩余的4 法2:按所用颜色种数分类 个彩色陶俑分成两组有C+82种不同的分组方 第一类5种颜色全用,共有A种不同的方法 第二类,只用A种颜色,则必有某两个顶点同色 法,再将这两线分别送给杰克与汤姆有A种不同方(A与C,或B与1),共有2×A种不同的方法; 法根据分步计数原理共有C(CC4种不同 第三类,只川3种颜色,则A与C、B与D必定同 方法 色,共有A种不同的方法 根据分类计数原理可得不同的送法种数为CA3 由分类加法计数原理,得个同的涂色方法总数为 +CC12+C(Ct a 100 点评 题的关键是颜色的数目和在不相邻 故答案为:100 的区域内是否可以使用同一种颜色,按分步涂色操作 点评:分组、分配问题的求解策略: 和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的常 (1)对不同元素的分配问题 45