18 浅谈正态分布的概念及其简单应用（数学部分）-2020年5-6月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 浅谈正态分布的概念及其简单应用 □宋德银 概念引入 二、概念形成 首先我们来聊一聊什么是正态分布,我们还是从 根据对称性知,随机变量X落在对称轴x=两 高尔顿板试验实验说起(如图1),随着实验次数增加 我们发现漏进球槽的小球越靠中间越多越靠近两端侧的概率都是出频卒直方图面积意义可以理解随 越少,而且成对称分布我们画出它的频率分布点方机变量X落在区间(a,b的概率其实就是在(a,上 图及折线图(图2),随着实验次数增加旦直方图组距的阴影部分即曲边梯形的面积(如 无限变小时折线图就越来越接近于条光滑的曲线图),此时我们称随机变量X的分 (图3),我们将此山线称为概率密度山线 布为止态分布,常记作N(,a)或 记作X~N(,a2),其中与分A 别是随机变量X的均值与标准 差特别地p=0,a=1时,称为标 准正态分布,记为X~N( 图 三、相关概率计算 出线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值, 对」X~N(0,1)计算P(x≤ 概率,数 经过拟合这条曲线是(或近似地是)下列网数的学家已经帮我们制定一张表我们只要查表即可;对 图像 」其他类型概率计算,可以根据概率密度函数山线图 P(x) 像对称性可得到如下结论 实数H和(>0)为参数我们称P(x)的图像为 (2)P(a)=P(x=a) 正态分布密度曲线,简称正态此线;正态分布的概率 密度函数山线呈钟形,因此人们乂经常称之为钟形出 线,与a分别反映的足均值与标准差 例如:设随机变量e~N(0,1),求下列各式的值 不同的p与a对应不同的态曲线(如图4、图5) 2)P (3)P(|e<2.55).(参考:P(e<2.55)=0.9916) 1P(e≤2.55)=0.0054; 由图像可知 (3)P(|e<2.55)=P(-2.55 (1)当x≤a时,曲线上升;当x>u时,曲线下降 且图像向左右两端无限延伸时,以x轴为渐近线 6-0.0054 (2)图像关于直线x=对称 0.989 (3)a越小,偏离均值的程度越小,则曲线越瘦高 对」一般正态分布我们可以通过换元法,即随机 σ越大,偏离均值的程度越大,则曲线越矮胖 变量X~N(,),令Y=-g (4)曲线与x轴之间的区域面积为1 则Y~N(0,1),从而可以计算一般随机变量落入 59