19 排列组合问题的常见类型及求解策略（数学部分）-2020年5-6月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 排列组合问题的常见类型及求解策略 □范习昱 排列组合问题是高考数学常考知识点,是区分优符合条件的七位数可以分为如下两步:第一步将1 秀学生和中间层次学生很好的考查內容,因此深受高5、7四个数字排好,有A种不同的排法;第二步将 考命题者的青睐,本文选取典型高考题,采用例题形1、6分别插入到第一步排的四个数字的工个问隙(包 式加以分类解析,并寻找其中规律,探求每一类的求括两端的两个位置)中的三个位置上,有A种插入方 解策略,希望对同学们冇所帮助 法.根据乘法原理共有A·A=1440种不同的排法 选数排数问题 所以共有1140个符合条件的七位数 ,2,3,4,5,6这6个数子组成无重复的 策略分析:在选数排数问题中,当特殊元素较多 四位数,试求满是下列条件的四位数各有多少个? 或者特殊要求出现时,可按结果要求,分成互不相容 (1)数字1不排在个位和千位 的几类情况分别计算,最后总计,这其实是围绕多元 (2)数了1不在个位,数子6不在千位 问题进行的分类法,本质是加法原理的运用当然分 解:(1)个位和千位有5个数字可供选择A,其步利川乘法原理有时也是行的通的比如例2的另解 余2位有四个可供选择A,由乘法原理:4342=240. 先排首位,不用0,有种方法;再冋时排个位高 (2)当1在千位时余下三位有 60,1不在千和|位,由于个位数了小于|位数子,即顺序固定,故 位时,千位有A种选法,个位有A种,余下的有A3,有C种方法;最后排剩余三个位管,有A3种排达故 共有AAA=192,所以总共有192|60=252 共有符合要求的六位数4C影A3=300(个) 例2由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 二、排队排序问题 六位数其中个位数字小于十位数字的共有 例46名同学排成一排,其屮、乙两人必须排 B.300个C.464 在·起的不同排法有 解:按题薏个位数只可能是0,1,2,3,4共5种情 C.240 况,符合题意的分别有A,A4A3.AAA, 解:因甲、乙两人要排在一起,改将甲、乙两人捆 A43A,A3个.合并总计,共有A+AA3A3+在一起视作一人,与其余四人进行个排列有A种排 AAA十AAA十4A=,300(个),故选B 法;甲、乙两人之问有A种排法.由分步计数原理可 例3巾数字1、2、3、1、5、6、7组成无重复数字的知,共有AA3=240种不同排法,选 七位数 例5耍排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目 (1)求三个偶数必相邻的七位数的个数 的演出节∏单,任何两个舞蹈节不得相邻,有多 (2)求三个偶数互不相邻的七位数的个数 不同的排法?(只要求写出式子,不必计算 解:(1)因为三个偶数2、4、6必须相邻,所以要得 解:先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为A 到一个符合条件的七位数可以分为如下三步:第一步种;这6个歌唱节月的空隙及两端共7个位置中再排 将1、3、5、7四个数字排好,有A种不同的排法;第二4个舞蹈节口,有A;种排法.巾分步计数原理可知 步将2、4、6三个数字捆绑在一起,有A种不同的捆任何两个舞蹈节目不得村邻的排法为AA种 绑方法;第三步将第二步捆绑的这个整体插人到第 例6两排座位,第一排有3个座位,第二排有5 步所排的四个不同数字的五个间隙(包括两端的两个个座位,若8名学生入座(每人一座位),则不同的坐 位置)中的其中一个位置上,有A种不同的插入方法种数为() 法根据乘法原理共有4·A8·4=720种同的排 解:此题分两排坐,实质上就是8个人坐在 法,所以共有720个符合条件的七位数 座位上故有A种坐法 (2)因为三个偶数2、1、6互不相邻,所以要得到 策略分析:例4是特殊元素相邻问题,利川“捆绑 解题方法 撼学 (1)从中任取3个点确定一个平面,共能确定多涂法? 少个平面? )以这10个点为顶点,共能确定多少个凸棱锥 解:;(L)C1。-4C 2)三棱锥:C-4C-6C%一3C=141个;四校1.解:先选一个偶数字排个位,有3种选法 锥:6×4×A=96,3×6=18,共有11个;共能确定 ①若5在十位或十刀位,则1、3有三个位置可排, 255个凸棱锥 策略分析:以立体儿何为背景的排列组合题,除 ②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位 考杏计数的思想和方法,还包含空间几何关系的考 置可排,共34A2=12个 查,无形之中增加了排列组合题的难度,在高考中时 算上个位供数字的排法,共计3(24|12)=108个 有出现结合空间关系进行分类计数是这类问题的首 答案 选策略如例12也可以用间接方法求解,也就是补2.解:先把3种品种的画看成整体,而水彩画不能放 集思想,如上例13,就是从总数中减去不符合条件的 在头尾,故只能放在间,则油画与国画有A种放 个数,即为所求 法.再考虑油画之间与国