20 善用导数知识 优化实际问题（数学部分）-2020年5-6月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 善闱导数知识优化实际问匙 □华腾飞 下面通过几个实例向同学们介绍导数知识在解 令y>0,得x>2 决优化实际问题中的妙用,让大家从中体会到数学知 识的妙用和魅力,从而提高学习兴趣和应用能力 费用最少问题 例1有甲、乙两个工厂,甲丿位于·直线河岸的 岸边A处,∠厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 妝当x=20时,y有最小值 40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km 即轮船以20km/h的速度航行时,航行每千米的 两厂要在岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂、总费川最少 乙厂的水管费用分别为3a元/km、5a元kmn,问供水 面积最小问题 站C建在何处才能使水管费用最省 例3如图,某农场要修建3个相同的矩形养鱼 解析:如图,设点C距点 B池,每个面积为100mr2,鱼池前面要留m宽的运料 参Dxkm,则AC= BD=40 通道其余各边为2m宽的堤 埂,每个鱼池长、宽各为多少 的水管费用为 时,占地面积最少? 解析:以鱼池的长或宽为 3+-5a 白变量、占地面积为函数值建 又 0,可求得x= 立起函数关系,可以顺利获f 在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题 设鱼池在AB方向上,宽为xm,养鱼池的占地面 的意义,知x=30处取得最小值,此时AC 积为wm2.则根据题意有:y=(3x+8)(-+ 20,所以供水站C应建在距甲)20km处才能使水管 费川最省 30048+18x 例2一艘轮船在航行屮的燃料费川与它的速度 的立方成正比.已知在速度为1km/h时,燃料费用 于足y=18 0,令y=0,可得x 为每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96 易知函数y=30048+18x+ 8000在(0 2c0 此轮船以多大速度航行时,能使行驶每千米的费 为 川总和最少 减数,在(。,|∞)为增函数 解析:求解本题的关健是列出以速度为自变量 费用为函数值的函数关系 当养鱼池宽为。m、长为150m时,y取得最 设轮船速度为z(z>0),总费用为y儿则根据小值,此时占地面积最 越意有:y=(kx2+96)(x>0) 说明:本题也可用不等式求解,请大家不妨一试 然后与上述解法比较,孰优孰劣,便一目了然 产值最大问题 (5002+96)1 例4某农场有一块农,如图所小,它的边界由 圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的点)和线段 MN构成已知圆O的半径为40米,点P到MN的 解题方法 撼学 距离为50米现规划在此农上修建两个温室大棚, 当∈(,)时,f()>0,所以f()为增函数 大棚「内的地块形状为烛形ABCD,棚Ⅱ内的地块 形状为入CDP,要求A,B均在线段AN上,C,D均在当∈(,)时,/(0)<0,所以f(为减函数因 园弧上.设Cx与MN所成的角 为0. 此当=K时,f()取到最大值 (1)用分别表示矩形ACD 和△(ⅠP的面积,并确定sin的 答:当=时,能使甲、乙两种疏桌的年总产值 取值范围. 最大 (2)若人栅「內种植种蔬菜,人棚Ⅱ内种植乙 点评:本题主要考查三角函数的应用、用导数求 种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为最值等基础知识,考查冋学们的直观想象能力和数学 4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产建模能力以及灵活运用数学知识分析问题和解决实 值最大 际河题的能力 路分析:(1)利用三角函数的概念建立目标函 四、最大亮度问题 数;(2)利川导数与函数的单调性和最值求解. 例5现在要在飞机场的停机坪两旁装灯,如图 解析:(1)设PO的延长线交MN于,则PH⊥已知停机坪的宽度为lm,灯要装多高能使停机坪 MN,所以OH=10 过O作OE⊥BC于E,则 MN,所以少1、中间照得最亮?(根据物理学知识,在一点P的照度 0,故OE=40cos6,EC=4 Osing,则矩形ABCD的面 其中g是光线的入射角,是P点与光源 积为2×10c(10sin10)=80(sin0o9cs),的距离,k是比例系数.) ∧CDP的面积为 40cs(40-40sin)= 解析:由已知求丿取最大值 时灯高x的值.故以∫为因变x 量、x为白变量建立函数关系,进 过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线而运用导数法求最值 」G和K,则GK=KN=10 连接OX,令∠(OK=,则 设灯高为am则根据题意有:2=x2+ n=4∈(0,6) 当B∈[,)时,才能作 出满足条件的矩形ABCD,所以sine的取值范围是 答:矩形ABCD的面积为800(sin0os0+ 平方米,△CDP的面积为160(c080-sins)平方 米,sm的取值范围是[1,1 得x=2,即J在x∈(。,2)十为增 (2)因为甲、L两种蔬菜的单位面积的年产值之函数,在x∈(2,|∞)上为减函数 比为4:3,设川的单位面积的年产值为A,乙的单