11 例谈导数在处理含参数函数三大性质中的运用（数学部分）-2020年7-8月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 例谈导数在处狸会参教函数三大性质中的运用 □熊辉范习昱 函数的单调性、极值和最值是函数的三大性质,递增,在(1,+∞)上单调递减 对于解析式明确的函数,运川导数处理不是难点,但 当0<a<时,函数g(x)在(0,1)上单调递增 是当网数中引入参数后,问题就显得复杂,很多同学 就难以下手 在(1,)上单调递减在(,+∞)上单调递增; 本文结合教学实践,以案例的形式对导数在处理 参数函数性质的运用进行分类剖析,总结出对参 当a=2时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增 数处理的常见规律,希望对同学们有所帮助 利用导数研究含参函数的单调性 当a>2时,函数g(x)在(,)上单调递增,在 例1已知函数g(x)=lnx+ x,函数g(x) 1)上单调递减,在(1,十∞)上单调递增. 的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴 (1)确定a与b的关系 方法提炼 (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性. (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对高 解:(1)b=-2a-1.(过程略) 不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时,耍在函数定义域内 讨论还要确定导数为0的点和函数的间断点 (3)本题第(2)问求解应先分a=0和a>0两种 函数g(x)的定义域为(0,+cx) 情况,再比较2和1的大小.一般情况下,讨论的层次 ①当a=0时,g(x)=-x 是:先是导函数最高次项系数的正负,然后是导函 数是否有零点,再是零点是否在函数定义域内,最后 由g(x)>>0,得0<xx1,由g'(x)<0,得x>1.是函数零点的大 ②当a>0时,令g(a)=0,得x=1或 练一练 已知函数∫(x)=x-anx(a∈R 若<1,即 1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切 线方程; 得 (2)设函数h(x)=(x)+1+a,求函数h(x)的 g(x)<0,得 单调区间 解:(1)x|y-2=0.(过程略) 若2~1,即0≤a (2)由题意知,h(x)= x aInz 由g(x)>0,得 或 则h(x)= 由g(x)<0,得1<x≤2a 2a=1,即a=2,在(,+∞)上恒有8()=0 ①当a+1>0,即 1时 综上可得:当a=0吋,函数g(x)在(0,1)上单调 h(x)>0 43 重点解析 数学 1时,h(x)≥>0恒成立 方法提炼 1时,h(x)的单调递减区问是(O,4 刈于解析式十含有参数的函数求板值,有时需要 1),单调递增区间是(a+1,+∞);当a≤一1时,分类讨论后解决问题.讨论的思路主要有 h(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间 (1)参数是否影响f(x)零点的存在 二、利用导数研究含参函数的极值 2)参数是否影响∫(x)不同零点(或零点与函数 定义域屮的间断点)的人小 例2设a>0,所数f(x)=x2-(a11) (3)参数是否影响∫(x)在零点左右的符号(如果 a?(1+1nx) 有影响,需要分类讨论) (1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线与直线 y=-x+1垂直,求切线方程 设∫(x)=xnx-ax2|(2a-1)x,∈R (2)求函数∫(x)的极值 (1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间 解:(1)切线方程为y=x2.(过程略) (2)匚知f(x)在x=1处取得板大值,求实数 (2)f(x)=x-(a+1)+=x2-(a+1)x+a 的取值范围 解:(1)由f(x)=1nx-2ax+2a 可得g(x)=n ①当 时 若x∈(,a),则f(x)>,两数f(x)单调递增; 当a≤0,x∈(0,+∞)时,g(x)>0,函数g(x)单 若x∈(a,1),则f(x)<0,函数f(x)单调递减;调递增 若x∈(1,+∞),则f(x)>0,函数f(x)单调 当a>0,x∈(0,)时,g( 数g(x)单调 高二递增 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的递 极小值 ∈( )时,g(x)<0,函数g(x)单调 函数∫(x)的极大值是f(a) a2+dlna,极递减 所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+cx) 小值是f(1) 当a>0时,g(x)的单调增区间为(0,),单调减 ②当a=1吋,f( 区间为(,+∞) 故函数∫(x)在定义域(0,十∞)内单调递增,此 由(1)知,f 时∫(x)没有极值点,故无极值 ①当a≤0时,f(x)单调递增 所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,f(x)单调递减 若x∈(0,1),则f(x)>0,函数f(x)单调递增 当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,f(x)单调递增 若x∈(1,a),则f(x)<0,函数f(ax)单调递减 所以∫(x)在x=1处取得极小值,不合题意 若x∈(a,+c),则f(x)>0,函数f