12 导数法证明数列不等式（数学部分）-2020年7-8月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 导数法证明数列不等式 口杨文金 利用导数证叨数列不等式,在高考题中能较好的看通项”,从通项公式入于,结合不等号方向考虑放缩 考查同学们灵活运用知识的能力,一方面以数为背成可求和的通项公式 景让同学们探寻函数的性质,另一方面体现数列是特 6.在放时要注薏前几问的铺垫与提示,尤共是 殊的函数,进而利用恒成立的不等式将没有规律的数关于怛成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式 列放缩为有貝体特征的数列,可谓一题多考,巧妙地往往提供了放缩数列的方向 将函数、导数数列、不等式结合在起,也是近年来 放缩通项公式有可能公进行多次,要注意放缩 高考的热广题型 的方向:朝着可求和的通项公式进行靠拢(等比数列, 1.常见类型 裂项相消等 (1)利用放缩通项公式解决数列求和中的不等 例1知函数f(x)=sinx-ax 问题 (1)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的 (2)利川递推公式处理通项公式中的不等问题 取值范围 恒成立不等式的来源 (2)当a=1时,令h(z)=f()-smx+hmx+1,高二 (1)函数的最值:最值的个作用就是提供恒成求hx)的最大值; 立的不等式 (2)恒成立问题的求解:此类题囗往往会在前儿 (3)求证:n(n+1)<1+++…+n1+ 问中进行铺垫,暗小数列放缩的方向.其中,有关怛成 (∈N) 立问题的求解,参数范围内的值均可提供恒成立不 等式 解析:(1)由f(x)>0,得 SInt: al>0,因为x∈ 3.常见恒成立不等式 (0,1),所以a<Sx (1)1nx≤3x1对数>多项式 (2)e2≥x+1指数>多项式 4关于前n项和的放统问题:求数列前n项和 再令(x)= scos.C-sinx 式往往要通过数列的通项公式来解决,高中阶段求和 (x)=cosx sina cos 的方法有以下几种: 所以ma(x)在(0,1)上单调递减,所以m(x) (1)倒序相加:通项公式貝备第k项与第n-k m(0)=0 项的和为常数的特点 所以g(x)<0,则g(x)在(0,1)上单调递减, (2)错位札减:通项公式为“等差X等比”的形式 所以g(x)>g(1)=sin1,故ar≤sin1 (例如an=n·2,求和可用错位相减) (2)当a=1时,f(x)= sina .x, (3)等比数列求和公式 ∴(x)=mx-x+1,(x)=1-1=1 (4)裂项相消:通项公式可裂为两项作差的形式 且an裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行 由h(x)=0,得x 当x∈(0,1)时,h(x)>0,h(x)在(0,1)上单调 注:在川放缩法处理数列求和不等式时,放缩为递增 等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见,故 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,h(x)在(1 优先考虑 单调递减; 5.大体思路:对于数列求和不等式,要谨记“求和 点2(x)ms=h(1)=0 47 重点解析 撼学 2n-1+1)(2n+1 十1)(2n+1) f(x)的正负求出单调区间如下 (左边可看作是数列求和,利用结论将不等式左 边的项进行放编,转化成可求和的数列——裂项相消) n(1 n(1 减 (2)解:∵∴函数y=f(x)图象上的点都在 区域内 条件等价于好x∈[0,+∞x),ax2+ln(x+1)≤ x恒成立,即ax2+ln(x+1)一x≤0 +1n(x+1) H7-1=3cx2/( 不等式得证 点睛:(1)第二问中代数方法与数形结合方法的 抉择,以及如何将约束条件转变为恒成立问题 2)对数运算的特点:化积为和.题目中没有关于 令g(x)>0→2ax+2a-1>0,即2C>1 乘积式的不等关系,于是决定变为和式 3)利用 的结论放缩通项公式,将不可求 和转变为可求和,进而解决问题 例4已知函数f( 此时发现单调性并不能直接舍掉a>0的情况, (4-1)x|a 但可估计函数值的趋势,ln(x+1)恒为正,而 Ⅰ)求证:出线y=f(x)与y=g(x)在(1,1)处 早晚会随着x值的变大而为止数,所以必然不符合题的切线重合 意在书写吋可构造反例来说明,此题只需ax (Ⅱ)若f(x)≤g(x)对任意x∈[1,十∞)恒 成 0即可所以选择x=1 (1)求实数a的取值范围 ②a≤0时,2ax+2a-1<即g(x) 2)求证:hn(n+1)!·n!] ∴g(x)在[0,|∞)单调递减 (其中 (x)≤g(0)=0,符合题意 证明:(I)f(x)=2+1nx,f(1) 综上所述:≤0 y=f(x)在(1,1)处的切线方程为y=2x-1 (3)思路:观察所证不等式(1+5)(1+ g ∴y=g(x)在(1,1)处的切线方程为y=2x1 1)(2+1)<e,左边连乘 所以切线重合 右边是c可以想到利川两边取对数“化积为和”,同时 (Ⅱ)(1