14 离散型随机变量的均值与方差问题解法导引（数学部分）-2020年7-8月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 离散型随机变量的灼值与方差问题解法导孙 □王佩其 我们知道,均值(数学期望)与方差是随机变量重 P(A)=(×1×2=4 要的数了特祉.均值(数学期望)反映了离散型随机变 量取值的平均水平,而方差姚反映了这个随机变量的 (2)X的所有可能值为0,5,10,15,20 离散程度,均值与方差在概率与统计实际问趣屮有着 P(X=0)=() 泛的应用.那么离散型随机变量的均值(数学期望) 与方差常用方法有哪些呢 P(X=5) 1.掌握下述均值与方差冇关性质,会给解题带来 方便 P(X=10)=()2 (lECax-+6)=aE(X)+b,E(X+Y)=E(X+ E(Y),(ux+b)=uv(X) P(X=15)=C2×(3) (2)若X~B(n,力),则(X)=mp,V(X)=np( P(X=20)=()3 基本方 X的分布列 (1)匚知随机变量的分布列求它的均值、方差和 标差,可直接按定义(公式)求解 (2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性 函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均 8+10×2 15×+2 值、方差的性质求解 (3)如能分析所给随机变量服从常川的分布(如 二项分布),可直接利川它们的均值、方差公式求解 解法导引:求散型随机变毀ⅹ的均值的步淼:(1理解 下面结合具体问题加以说明,供同学们参考. X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求出X取每个值的 求离散型随机变量的均值 溉率;(3)写出X的橛卒分布(有时可以略):(4)由均值的定 义求出E(X). 离散型随机变量的均值也称离散型随机变量的 数学期望,它反怏了离散型随机变量取值的平均水 二、离散型随机变量均值的性质应用 平,随机变量X在分在列中的一切可能值xx,与对应 求均值的关键足求出分布列,只要求出随机变量 的概率P(x=x)的乘积的和就是随机变量X的的分布列,就可以套用均值的公式求解,对于ax+b 均值 型随机变量的均值,可以利用均值的性质求解,当然 例1小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的也可以凭求出ax+b的分布,再用定义求解 甲、乙、丙随机发放红包,每次发放个 例2已知随机变量X的分布列如下: 1)若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个 的概率 P (2)若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元 20 的1个记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列 (1)求m的值 和期龈 (2)求E(X) 解析:(1)设“甲恰得一个红包”为事件A (3)若Y=2X-3,求F( 55 解题方法 值,然后巾随机变量的均值计算公式求出相应的期件A,B,C,则P()=l 解析:解答本题可先由分布列的性质求出m的 值,而对」(3)可以直接利用公式E(Y)=E(2X3) 依题意,集成电路E需要维修有两种情形 2h(X)-3,也可以先写出Y的分布列,雨求E(Y) D3个元件都不能正常工作,概率为 (1)由随机变量分布列的性质 PI=P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 得+3+号+m+2=1解得m= 个元件的2个不能正常工作,概率为 (2)E(X)=(-2)X+(-1) P2=P(ABC+ABC+ABC P(ABC)I P(ABC)I P(ABC) (3)方法1:由公式E(aX+b)=aE(X)+b, 得E(Y)=E(2X3)=2E(X)3 62 所以,集成电路E需要维修的概率为 方法2:巾于Y=2X-3,所以Y的分布列如下 P1+P Y (2)设为维修集成电路的个数,则~B(2,) 而X=100 所以E(Y=(-7)×1+(-5)×3+(-3) P(X=10k)=P(E=k)=C( 高二1+(-1×1+1 ), 解法导引:若给出的随机变量与Ⅹ的关系为 X的分布列为 十b,a,b为常数.一般思路是先求出F(X),再利 用公式E(aX+b)=aE(X)十b求E().也可以利用 X的分布列得到的分布列,关键由X的取值去计算 ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(2) 三、与两点分布、二项分布有关的均值 服从两点分布的随机变量X的均值F(X)=D.或F(X=100K()=100×2×5=250 服从二项分布的随机变量X的均值E(X)=np,即 解法导引:(1)求期望的实际应用问题一般步骤: X~B(n,p),则(X)=m在实际问题中,需准确判首先判断随机变量X是否服从特殊分布(如两点分布 断变量是否服从两点分布、项分布,以便借助公式和二项分布),如果是,代入相应的公式求期望值;如 求解 果不是,则先列出Ⅹ的分布列,再代入期望公式求解. 例3集成电路E由3个不同的电子元件纽成,(2)解答实际应用问题时,先分析实际背景,将所求问 现由于元件老化,一个电子元件能正常工作的概率分题概率模型化,再利用有关概率知识求解 別降为2,2,3,日每个电子元件能否币常工