16 谈谈三角恒等变换的典型题型-（数学部分）-2020年1-2月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 谈谈三角恒等变换的典型题型 □严循跃 三角恒等变换是三角函数的主要內容,恒等变形 是进行三角数式的化简、计算、恒等式证明的主要A,号是级的半角,是的倍角等 环节,也是同学们学习三角函数的一个难点.本文归 ③在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常 纳三角恒等变换的一些知识、技巧,以供同学们参考 数转化为三角函数值,尤其要重视常数“1”的各种变 一、基础公式 形,例如:1=n,1=sin2a+cos3a等 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ④在进行三角函数化简、求值、恒等式训明时,常 n(a+B)=sinacosB-EcosasinB 常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次 SacOS± stains; 的方法,达到不统一转化到统一,消除差异的囗的 1n(a)=1Hm(a1,a,均不为kr 总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角 变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到使角相同;通 过转换函数,达到同名(最好使式中只含个函数 二倍角的正弦、余弦、正切公式 名);通过对式子变形,达到化简(尽可能整式化、低次 化、有理化);通过幂的升降,达到幂的统 cos 2a=cos & w=2cos2c-1-=1-2sin c: 辅助角公式(化一公式): asin.+ bcos= a3+sin(x+0)(其中角所在的象限巾a,b的符 (a,2均不为k丌十,k∈Z) 号确定,θ角的佰出tan=确定)在求最值、化简时 二、思想方法技巧 起着重要作川.把形如y=asm2x+ bsinrcosx 1.深层次领悟公式的功能规律与内涵 co3x+d的两数化为y=Asin(2x+g)+B的形式, 刈三角公式,知其结构特征仅是第层面要求 重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵如研究其性质,是近几年常号题型 1+sin2a=(sing+ CoSa)2有并项的功能,cos 已知值求角中,角的范围常常被忽咯或不能发 现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除.要避免 sina有升幂的功能,sin2a=2 sinaloa有将角巾大 上述情况的发生,应合理选择角函数形式进行求 化小的功能,两角和与若的正切公式,揭示的是同名解根据计算结果,估算出角的较精确的取值范围,并 不同角的正切函数的关系等 不断缩小角的范围,在选择三角函数公式时,一般已 2余弦的差角公式是本节公式之源,掌握其证明知正切函数值,选正切函数已知正余弦两数值时,若 过程以和差倍半公式的推演力法是很必要的 3三角恒等证明分自条件的恒等证明和无条件角在(0,x时,一般选余弦函数,若是(2,2)则 的恒等证明对」有条件的恒等证明,需要注意的问般选正弦所数 题有二:一是仔细观察等式两边结构上的联系与差 7.两角和正切公式的变形:tana+tan=tan(a+ 异,探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法 )(1tam· tanB),它体现∫两个角正切的和与积的 是充分利用条件,特别是将条件变形整理后使用 关系,在解题中有广泛的应用 A.熟知一些恒等变换的技巧 8.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ①公式的正用、逆用及变形用 ①一看“角”,这足最重要的一环,通过看角之间 ⑨熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的差别与联系,批角进行合理的拆分,从而正确使用 的,如2a=(a|B|(a-B)a=(al9) 52 重点解析 撼学 解法三;( ”入于,利用降幂公式先降次) 3×tan(18112)(1-amn181ar12°)|tanl8n12 原式= 题型四、三角恒等变换的综合应用 2a·(xs23=(1+cos2a 例8如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地, 外的地方种草,△ABC的内接 os2aco3+(1+cs2a·cos+os2+cs2)正方形PQRS为一水池,其余的地方种花若BC=a, ABC=0,设△ABC的亩积 为S1,正方形的面积为S2 解法四;(从“形”入手,利用配方法,先对二次项 (1)用a,0表示S1和S2 配方 2)当a固定,9变化时 原式=(m,9c,92m,sp求取最小值时的角a COs·cos9-1 os2a·cos2=cos2(a+B) 解:(1)∵AC=asin0,AB=acos0 + cos(2a+29)=cos(a+)-2·2cos(a+)-1」 设正方形边长为xz,则BQ=xCou,RC=x:tanm0 sindos 题型三、三角函数式的证明 a sin 20 例5求证12 SInacom=1t tana (2)当a固定,0变化时 证明:芹边=7 (cosa-sitla)(cosa I sitla) (sinac osa) tan=有边 令sin2=t,则 例6已知 Asin(a+i) 求证 可以证明:两数∫ tan(a