20 也探三角函数问题的处理策略-（数学部分）-2020年1-2月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 数学 也探三角函數问题的处理氧略必 □周文国 三角函数是高数学要的知识点之一,但其解 例2已知 题方法灵活多变,下面我们不妨再来探索卜解决三角 函数问题的处理策略 求sin}-sin2a的最小值 把握 与 SInaCOSO的关系 分析:由」 对于上述两者之间的关系,一定要熟悉(sin+ <,由此确定sim2的范围 以确定sin°a的范围,从而根据其范围来讨 往往可以知道sin+cosa、sin-os、 sinaloa三个屮sin的取值情况解决 的任意一个,则可以求出另外两个式子的值 解:因为≤P<4 例1已知inc+co=,且a∈(0,π),求tank 则 R1,则0≤3 的值 3sin>o 分析本题中已知sina+cm=3,且a∈(0,x) 然后利用sin2a+cos3a=1就可得到2 sitll osa的值,sin≤0 则可以求得sina-coa的值 因此y=sin2-bsim2 解:由sin+cosa=2,且a∈(0,丌),将其平方得 asina=(sing)-: 求得 因为a∈(0,丌),且 sinaloa<0,则cosa<0,sina 当sna∈[含,1)时,y为增函数,当 时 因为(sin-cosa) csc=g,则得到 当sin∈ O]时,y为减函数,当 则由 时,ymn=0;则可以比较下来,得到sim2- 2 sin c的 i-s017 最小值为 得到sn 点评:在三角运算中,有关的三角函数远算所 象限符号的选取则常常需要进行讨论才能解决,三角 点评;在解三角函数要能充分注意题目中的隐含函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等相关 条件,灵活运用sin+co和maca之间的关系,同问题则需要进行分类讨论 时耍注意判断它们的符号 注意诱导公式的灵活应用 二、把握分类讨论的方法 诱导公式问题的关健是抓住奇变偶不变,符号看 在解决有关的二们函数间题中,有比较多的间题象限,当然有灵活性的问题则需要灵活处理 需要进行讨论才能解次,在分类讨论需要注意讨论 的完备性 例3已知co(y √2 63 解题方法 撼学 3n(3a)=2i(7+,日<a<x,0< (方法三)可从变形入手: 求a、3的值 sin'asinB+cos acos 3 分析:本题利用诱导公式和同角三角函数的基本 COSacos 3)2+ 2sinasin@ 关系式,可逃速求得a、的值 解:因为cos(aa)=-√2cos cos(a+3)+o sin]; 则sin=√2sinB(1) 又因为/3i(y-a)=-V2sin(芬十B) cos"(atB)-0 点评:对于转化与化归的思想,常常应用在三角 则/3 函数式的化筒、求值和证明中,注意能灵活应用 可把(1)(2)平方后相加得到sin2a+ 五、熟悉三角函数性质的综合应用 得到cosa=2 对于三角两数综合性质问题,主要涉及的是三角 所数性质问题,数图象问题以及三角晰数的辅助角 由<Q<不,则∞x=2,因此a=4把 公式问题,要能对三角函数知识综合把握. 3代入(21得到c=一 例5已知a=(2cosx,1),b= 1),两数f(x)=a·b 又0≤π,得到= (1)求f(x)任区间[,上的最大值和最小值 评:本题通过结合诱导公式,将函数式化简,再 利用同角三角函敛关系式则可解决 (2)若f()=5,2∈L,2,求cx2x0的值; 四、转化与化归思想 (3)若函数y=f(ax)在区问 )上是单调 转化与化归思想是在处理问题时,通过某种关递增函数求正数a的取值范围 系,将原间题转化为类已经解决或者是比较容易解 分析:本题先利用向量的数量积公式,将问题转 决的问题,从而得到最终的解决思巷 化为三角数的辅助角公式,并结合三角数变角求 例4化简 asin B+oos acos1sa值,雨利用单调性解决问题 分析:本题可以从各个角度进行转化,方法不同 解:(1)f(x)=a·b=2csx(3 sinz cosr)-1 但殊途同归. 解:(方法一)吋从变化角度人手 t于x∈[0,,则丢 了∴-2π 则 sin'asin'9+cos acos 2 cos2a x+)≤1,所以f sirl'asitl ]Icos acs p-9(2c0s a1)(2c0sP-1 (2)因为f(x 厕2sin(2x+) 方法二)可从变三角函数名人手 P (2 =sin2asinB-+(1-sin'acos p-2 cos2ccos2i °Bcos2(sin2a 因此cx (1-Fcos2B)-cos23 (2x0+)