21.3实际问题与一元二次方程-人教版九年级数学上册教学案（学生版+教师版）【机构专用】

21.3 实际问题与一元二次方程 【学习目标】 1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题。 2.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。 【学习重难点】 重点：列一元二次方程解决实际问题。 难点：找出题目中的等量关系。 知识点一 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 与列一元一次方解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤为： 1．审：审清题意，明确那些死未知量，哪些是已知量，以及它们之间的关系； 2．设：根据题意，设恰当的未知数。设未知数有“直接设元”和“间接设元”两种方法； 3．列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表达出来，再根据相关关系列出方程； 4．解：解方程，得出未知数的值； 5．验：检验得出的方程的解是否符合题意，舍去不符合一题的解； 6．答：写出正确的解． 【例题】某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树? 【变式】某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 知识点二 列一元二次方程解决平均增长率 （1）增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率 (2)连续两次增长，且增长率相等的问题：若原来为m，现在为n，增长率为x，满足公式 如果是连续两次下降则为： 【例题1】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款 12100元. （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【变式1】 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　） A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363 C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300 【变式2】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 【变式3】某市去年9月招收区内初中班学生50名，并计划在明年9月招生结束后，使区内初 中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率． 知识点三 列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数量及数量之间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有：三角形、四边形、正（长）方形，以后还会有圆。涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理。 【例题1】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． 【变式1】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32 【变式2】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为　7　m． 知识点四 列一元二次方程解决与循环有关的问题 单循环公式： =总次数 双循环公式： =总次数 注：双循环常见题型：①送礼物（礼尚往来）； ②球赛：每支球队分别以主、客场身份和其他球队交锋两次。 【例题】一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是多少？  【变式1】在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人