专题三 导数及其应用（小题专练）-【创新教程】2016-2020五年高考真题文科数学分类特训

１０．３０　 总 费 用 ４x＋６００x ×６＝４ x＋ ９００ x( ) ≥４×２ ９００＝ ２４０,当且仅当x＝９００x ,即x＝３０时等号成立． １１．３ ２　∵a＋b＝５(a＞０,b＞０),∴ a＋１＋ b＋３ ＝ a＋１＋ ８－a＝ ( a＋１＋ ８－a)２ ＝ (a＋１)＋(８－a)＋２ －a２＋７a＋８ ＝ ９＋２ －a２＋７a＋８ 设t＝－a２＋７a＋８．当a＝７２ 时,t有最大值８１４ ,此时 b＝５－７２＝ ３ ２． ∴( a＋１＋ b＋３)max＝ ９＋２ ８１ ４ ＝３ ２． １２．２ ２－２　f(x)＝|x２－ax|＝|x(x－a)|, 当a≤０时,g(a)＝f(１)＝１－a, 当a≥１时,g(a)＝f a２( )＝ a２ ４ , 当０＜a＜１时, ①当f a２( ) ≥f(１)即a∈[２ ２－２,１)时, g(a)＝f a２( )＝ a２ ４ ; ②当f a２( ) ＜f(１)即a∈(０,２ ２－２)时 g(a)＝f(１)＝１－a; 综上,g(a)＝ １－a　a∈(－∞,２ ２－２) a２ ４　a∈ [２ ２－２,＋∞){ 当a∈(－∞,２ ２－２)时,g(a)单调递减,当a∈[２ ２－２, ＋∞)时,g(a)单调递增,故当a＝２ ２－２时,g(a)取最小 值． 专题三　导数及其应用 １．C　 ∵y′＝２cosx－sinx,∴ 切 线 斜 率 k＝２cosπ－ sinπ＝－２, ∴在点(π,－１)处的切线方程为y＋１＝－２(x－π),即２x＋ y－２π＋１＝０． ２．D　准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运 算法则掌握不熟,导致计算错误．求导要“慢”,计算要准,是 解答此类问题的基本要求．y′＝aex＋lnx＋１, k＝y′|x＝１＝ae＋１＝２ ∴a＝e－１ 将(１,１)代入y＝２x＋b得２＋b＝１,b＝－１,故选 D． ３．D　若f(x)＝x３＋(a－１)x２＋ax 为奇函数,则a－１＝０, ∴a＝１．∴f(x)＝x３＋x,又∵f′(x)＝３x２＋１, ∴斜率k＝f′(０)＝１,∴切线方程为y＝x． ４．C　令x２－２x＝－a(ex－１＋e－x＋１),设g(x)＝ex－１＋e－x＋１, g′(x)＝ex－１－e－x＋１＝ex－１－ １ex－１ ＝e ２(x－１)－１ ex－１ ,当g′(x)＝０ 时,x＝１,当x＜１时,g′(x)＜０函数单调递减,当x＞１时, g′(x)＞０,函数单调递增,当x＝１时,函数取得最小值g(１) ＝２,设h(x)＝x２－２x,当x＝１时,函数取得最小值－１,若 －a＞０,函 数 h(x),和 ag(x)没 有 交 点,当 －a＜０ 时, －ag(１)＝h(１)时,此时函数h(x)和ag(x)有一个交点,即 －a×２＝－１⇒a＝１２ ,故选 C． ５．D　原函数先减再增,再减再增,因此选 D． ６．D　f′(x)＝３x２－１２＝３(x＋２)(x－２),令f′(x)＝０得x＝ －２或x＝２,易得f(x)在(－２,２)上单调递减,在(２,＋∞)上单 调递增,故f(x)极小值为f(２),由已知得a＝２,故选 D． ７．A　设P１(x１,lnx１),P２(x２,－lnx２)(不妨设x１＞１,０＜x２＜ １),则由导数的几何意义易得切线l１,l２ 的斜率分别为k１＝ １ x１ ,k２＝－ １ x２ ．由已知得k１k２＝－１,∴x１x２＝１,∴x２＝ １ x１ ． ∴切线l１ 的方程为y－lnx１＝ １ x１ (x－x１),切线l２ 的方程为 y＋lnx２＝－ １ x２ (x－x２)．分别令x＝０得A(０,－１＋lnx１),B(０,１ ＋lnx１)．又l１ 与l２ 的交点为P ２x１ １＋x１２ ,lnx１＋ １－x２１ １＋x２１( )． ∵x１＞１;∴S△PAB＝ １ ２|yA－yB| 􀅰|xP|＝ ２x１ １＋x１２ ＜ １＋x１２ １＋x１２ ＝１,∴０＜S△PAB ＜１,故选 A． ８．A　当y＝sinx时,y′＝cosx,cos０􀅰cosπ＝－１,所以在函数y＝ sinx图象上存在两点x＝０,x＝π使条件成立,故 A 正确;函 数y＝lnx,y＝ex,y＝x３的导数值均非负,不符合题意,故选 A． ９．２x－y＝０　设切点为(x０,y０),y＝lnx＋x＋１求导得y′＝ １ x＋１ ,依题有１ x０ ＋１＝２得x０＝１, 所以y０＝ln１＋１＋１＝２,切线方程为y－２＝２(x－１),即２x －y＝０． １０．１　f′(x)＝e x(x＋a－１) (x＋a)２ ,f′(１)＝ ae(１＋a)２ ＝ e４ ,解得a＝ １． １１．(e,１)　导数运算及切线的理解应注意的问题: 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆． 二