专题二 三角函数与解三角形（大题突破）-【创新教程】2016-2020五年高考真题文科数学分类特训

而lna＜０,lnb＞０,因 此 x０ ＝logba － lna lnb( ) 时 h(x０)＝０, 因此x∈(－∞,x０)时,h(x)＜０,axlnb＞０,则g′(x)＜０; x∈(x０,＋∞)时,h(x)＞０,axlnb＞０,则g′(x)＞０; 则g(x)在 (－ ∞,x０)递 减,(x０,＋ ∞)递 增,因 此 g(x)最小值为g(x０), ①若g(x０)＜０,x＜loga２时,ax ＞aloga２＝２,bx ＞０,则 g(x)＞０; x＞logb２时,ax＞０,bx＞blogb２＝２,则g(x)＞０; 因此x１＜loga２且x１＜x０ 时,g(x１)＞０,因此g(x)在 (x１,x０)有零点,x２＞logb２且x２＞x０ 时,g(x２)＞０,因 此g(x)在(x０,x２)有零点,则g(x)至少有两个零点,与 条件矛盾; ②若g(x０)≥０,由函数g(x)有且只有１个零点,g(x) 最小值为g(x０),可得g(x０)＝０, 由g(０)＝a０＋b０－２＝０,因此x０＝０, 因此logb a －lnalnb( )＝０,即－ lna lnb＝１ ,即lna＋lnb＝０, 因此ln(ab)＝０,则ab＝１． 专题二　三角函数与解三角形 １．解:(１)由题设及余弦定理得２８＝３c２＋c２－２× ３c２× cos１５０°． 解得c＝－２(舍去),c＝２,从而a＝２ ３. △ABC的面积为１２×２ ３×２×sin１５０°＝ ３． (２)在△ABC中,A＝１８０°－B－C＝３０°－C,所以 sinA＋ ３sinC＝sin(３０°－C)＋ ３sinC＝sin(３０°＋C)． 故sin(３０°＋C)＝ ２２． 而０°＜C＜３０°,所以３０°＋C＝４５°,故C＝１５°. ２．解:由已知得sin２A＋cosA＝ ５４ ,即cos２A－cosA＋ １４ ＝０． 所以(cosA－１２ )２＝０,cosA＝１２ ,由于０＜A＜π,故A ＝π３ . (２)由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝ ３３sinA． 由(１)知B＋C＝２π３ ,所以sinB－sin ２π３－B( )＝ ３ ３sin π ３． 即１ ２sinB－ ３ ２cosB＝ １ ２ ,sin B－π３( )＝ １ ２． 由于０＜B＜２π３ ,故B－ π３＝ π ６ ,即B＝ π２ ,从而△ABC 是直角三角形． ３．解析:若c＝ ３b,因 为sinA＝ ３sinB,结 合 正 弦 定 理 sinA a ＝ sinB b ,知a＝ ３b＝c, 所以A＝C＝π６ ,B＝２π３ , 所以sinA＝１２ ,sinB＝ ３２ ,与sinA＝ ３sinB,矛盾! 所以此时不存在这样的△ABC． 答案:选择③,不存在 解析:因为sinA＝ ３sinB,结合正弦定理sinAa ＝ sinB b , 知a＝ ３b, 由余弦定理知c２＝a２＋b２－２abcosC＝b２,即c＝b, 若csinA＝３,由正弦定理sinAa ＝ sinC c 知a＝６, 所以c＝b＝２ ３． 答案:选择②,c＝２ ３ 解析:因 为 sinA＝ ３sinB,结 合 正 弦 定 理sinAa ＝ sinB b ,知a＝ ３b, 由余弦定理知c２＝a２＋b２－２abcosC＝b２,即c＝b, 若ac＝ ３,则c＝１． 答案:选择①,c＝１． ４．解:选择条件① (Ⅰ)由余弦定理得 a２＝b２＋c２－２bccosA 即a２－b２＝４９－１４b× －１７( ) (a＋b)(a－b)＝４９＋２b １１a－１１b＝４９＋２b １１a＝４９＋１３b ∵a＋b＝１１ ∴b＝１１－a ∴１１a＝１４３－１３a＋４９ ∴２４a＝１９２ ∴a＝８ (Ⅱ)∵在△ABC中 ∴sinA＞０, ∴sinA＝ １－cos２A＝４ ３７ 由正弦定理得:a sinA＝ c sinC ∴sinC＝csinAa ＝ ７×４ ３７ ８ ＝ ３ ２ ∴S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×８×３× ３ ２＝６ ３． 选择条件②: (Ⅰ)∵在△ABC中 sinA＞０,sinB＞０ ∴sinA＝ １－cos２A＝ ６３８ ＝ ３ ７ ８ , sinB＝ １－cos２B＝５ ７１６ 由正弦定理得 a sinA＝ b sinB ∴ab ＝ sinA sinB＝ ３ ７ ８ × １６ ５ ７ ＝６５ ∴a＝６ (Ⅱ)在△ABC中 C＝π－(A＋B) ∴sinC＝sin(A＋B) ∴sinC＝sinAcosB＋sinBcosA 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋