专题三 数列（大题突破）-【创新教程】2016-2020五年高考真题文科数学分类特训

２２．解:(１)∵cosB＝４５ ,B 为三角形的内角 ∴sinB＝３５ ,∵ ABsinC＝ AC sinB , ∴AB ２ ２ ＝６３ ５ ,即AB＝５ ２; (２)cosA＝－cos(C＋B)＝sinBsinC－cosBcosC ∴cosA＝－ ２１０ , 又∵A 为三角形的内角,∴sinA＝７ ２１０ , ∴cos A－π６( )＝ ３ ２cosA＋ １ ２sinA＝ ７ ２－ ６ ２０ ． ２３．解:(１)在△ABC中,由 asinA＝ b sinB , 可得asinB＝bsinA,又由asin２B＝ ３bsinA, 得２asinBcosB＝ ３bsinA＝ ３asinB, 所以cosB＝ ３２ ,得B＝π６． (２)由cosA＝１３ ,可得sinA＝２ ２３ ,则 sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋π６ ) ＝ ３２sinA＋ １ ２cosA＝ ２ ６＋１ ６ ． ２４．解:(１)由正弦定理得 sinB＋sinC＝２sinAcosB, 故２sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB ＋cosAsinB, 于是sinB＝sin(A－B)． 又A,B∈(０,π),故０＜A－B＜π,所以, B＝π－(A－B)或B＝A－B, 因此A＝π(舍去)或A＝２B, 所以,A＝２B． (２)由cosB＝２３ 得sinB＝ ５３ , cos２B＝２cos２B－１＝－１９ , 故cosA＝－１９ ,sinA＝４ ５９ , cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝２２２７． 专题三　数列 １．解:(１)设公比为q,则由 a１＋a１q＝４, a１q２－a１＝８,{ 得a１＝１,q＝３, 所以数列{an}的通项公式为an＝３n－１ (２)由(１)有log３an＝n－１,数列{log３an}是一个以０为首 项,１为 公 差 的 等 差 数 列,所 以Sn＝ n(n－１) ２ ,若Sm ＋ Sm＋１＝Sm＋３, 则m(m－１) ２ ＋ (m＋１)m ２ ＝ (m＋３)(m＋２) ２ ． 解得:m＝６或m＝－１(舍去) 所以m＝６ ２．解:(１)设等比数列{an}的首项为a１,公比为q(q＞１)． 因为 a２＋a４＝２０ a３＝８{ ,即 a１q＋a１q３＝２０ a１q２＝８{ ,解 得q＝２,a１＝ ２．所以an＝２n． (２)由于２１＝２,２２＝４,２３＝８,２４＝１６,２５＝３２,２６＝６４,２７ ＝１２８, 所以b１ 对应的区间为:(０,１],则b１＝０; b２,b３ 对应的区间分别为:(０,２],(０,３],则b２＝b３＝１,即 有２个１; b４,b５,b６,b７ 对应的区间 分 别 为:(０,４],(０,５],(０,６], (０,７],则b４＝b５＝b６＝b７＝２,即有２２ 个２; b８,b９,􀆺,b１５对应的区间分别为:(０,８],(０,９],􀆺,(０, １５],则b８＝b９＝􀆺＝b１５＝３,即有２３ 个３; b１６,b１７,􀆺,b３１对应的区间分别为:(０,１６],(０,１７],􀆺, (０,３１],则b１６＝b１７＝􀆺＝b３１＝４,即有２４ 个４; b３２,b３３,􀆺,b６３对应的区间分别为:(０,３２],(０,３３],􀆺, (０,６３],则b３２＝b３３＝􀆺＝b６３＝５,即有２５ 个５; b６４,b６５,􀆺,b１００对应的区间分别为:(０,６４],(０,６５],􀆺, (０,１００],则b６４＝b６５＝􀆺＝b１００＝６,即有３７个６． 所以S１００＝１×２＋２×２２＋３×２３＋４×２４＋５×２５＋６×３７ ＝４８０． ３．解:(Ⅰ):设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的 公比为q．由a１＝１,a５＝５(a４－a３),可得d＝１, 从而{an}的通项公式为an＝n．由b１＝１,b５＝４(b４－b３), 又q≠０,可得q２－４q＋４＝０,解得q＝２,从而{bn}的通项 公式为bn＝２n－１． (Ⅱ)证 明:由 (Ⅰ)可 得 Sn ＝ n(n＋１) ２ ,故 SnSn＋２ ＝ １ ４n (n＋１)(n＋２)(n＋３),S２n＋１＝ １ ４ (n＋１)２(n＋２)２, 从而 SnSn＋２ －S２n＋１ ＝ － １ ２ (n＋１)(n＋２)＜０,所 以 SnSn＋２＜S２n＋１． (Ⅲ)当n 为 奇 数 时,cn ＝ (３an－２)bn anan＋２ ＝ (３n－２)２n－１ n(n＋２) ＝ ２n＋１ n＋２－ ２n－１ n ; 当n为偶数时,cn＝ an－１ bn＋１ ＝n－１ ２n ． 对任意的正整数n,有 􀰑 n k＝１ C２k－１＝􀰑 n k＝１ ２２k ２k＋１－ ２２k－２ ２k－１( )＝ ２２