1.4.3 运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题-2020-2021学年高二数学课时同步练（人教A版选择性必修第一册）

课时同步练 1.4.3运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题 一、单选题 1．已知向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（　　） A． B． C． D． 2．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角的大小为（　　） A． B． C．或 D．或 3．平面α的一个法向量为＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 4．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．若平面α的一个法向量为（1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（　　） A．1 B． C． D． 8．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 9．四棱锥S-ABCD中，，，则这个四棱锥的高h 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．在四面体中，，，两两垂直，，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值（ ） A． B． C． D． 11．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 12．空间线段，，且，设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为________. 14．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 15．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为___________. 16．在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为______． 17．在正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是________． 18．如图，正方体棱长为,点分别在直线上, 若直线与棱相交, 则的最小值是． 三、解答题 19．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20．如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点． （1）证明：； （2）求直线与的夹角的余弦值． 21．如图，长方体被经过的动平面所截，分别与棱，交于点，，得到截面，已知，. （1）求证：； （2）若直线与截面所成角的正弦值为，求的长. 22．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 $$ 课时同步练 1.4.3运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题 一、单选题 1．已知向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线面角为，则. 故选A 2．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角的大小为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补， 由于从图形中无法判定二面角是锐角还是钝角， 所以二面角的大小为或. 故选C. 3．平面α的一个法向量为＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】∵，， ∴||==5，||==5 •=4×0+3×+0×（﹣1）=-9 因此，向量与的夹角θ满足cosθ=== 又∵向量、分别为平面α和平面β的法向量 ∴平面α与β夹角等于向量、的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于 故选B． 4．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 设，则，，，， 所以，，， 所以，所以异面直线与所成角的大小为， 故选C. 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，