第二章 第9讲 幂函数-2021届高三数学一轮高考总复习课件(共26张PPT)

第9讲　幂函数 课标要求 考情风向标 从多年的高考试题来看，幂函数 一般不单独命题，而常与指数函 数、对数函数交汇命题，重点考 查函数的单调性(比较大小).命 题形式一般为选择题、填空题 通过实例，了解幂函数的概 念；结合函数y＝x, y＝x2, y＝ x3, y＝，y＝x 的图象，了解 它们的变化情况 1.幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α是常数. 2.幂函数的图象 象，如图 2-9-1. 图 2-9-1 4.如图2­9­2，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象.已知α分别取－1,1，，2四个值，则相应图象依次为：________________. 3.幂函数 y＝xα的图象 在第一象限内，直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α 由小到大；y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α由小 到大. 性质 [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 单调递减 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R ________ (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) __________ __________ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 在(－∞，0)上， 单调递减； 在(0，＋∞)上， 单调递增 单调 递增 单调递增 在(－∞，0)上， 单调递减； 在(0，＋∞)上， __________ 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 例1：(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A. B.1 C. D.2 解析：由幂函数的定义知k＝1.又f＝，∴α＝.解得α＝.从而k＋α＝.故选C. ) 1.所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( A.(0,0) B.(0,1) C.(1,1) D.(－1，－1) A B C D C B A.①y＝x；②y＝x2；③y＝x；④y＝x－1 B.①y＝x3；②y＝x2；③y＝x；④y＝x－1 C.①y＝x2；②y＝x3；③y＝x；④y＝x－1 D.①y＝x；②y＝x；③y＝x2；④y＝x－1 3.若幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图 象是( ) C A B C D 图 2-9-2 c4，c2，c3，c1 解析：设f(x)＝x－x，f(0)＝1>0，f＝－，由幂函数y＝x单调递增，得f＝－>0；f＝－，由指数函数y＝x单调递减，得f＝－<0.故选C. 考点 1 幂函数的概念 答案：C 例题：已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式. 正解：由题意，得 由①，得－1≤m≤3.再由②③，得m＝－1,1,3. 当m＝－1和3时，解析式为f(x)＝x0＝1(x≠0)； 当m＝1时，解析式为f(x)＝x－4. ) 则它的单调递增区间是( A.(0，＋∞) C.(－∞，＋∞) B.[0，＋∞) D.(－∞，0) 答案：D 【失误与防范】一般说来，幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，应该马上想到指数小于零，其实函数f(x)＝x0的图象为除掉点(0,1)的直线y＝1(x≠0)，该图象与x轴、y轴也都无交点，且关于y轴对称，完全符合上题，但容易忽略而出错. A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 答案：B 【规律方法】(1)幂函数 y＝xα的特点：①系数必须为1； ②指数必须为常数. (2)第(3)小题求出 m＝1 或 m＝3 后，再根据幂函数为增函 数可知 m＝3 不符合题意. 考点 2 幂函数的图象 例 2：(1)请把如图 2-9-3 所示的幂函数图象的代号填入下面 的表格内. A E B F C G D H 图 2-9-3 答案：E C A G B D H F 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号 (2)下面给出 4 个幂函数的图象(如图 2-9-4)，则图象与函数 的大致对应是( ) 图 2-9-4 答案：B 【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布规律，应先观察图 象是否过原点，过原点时α>0，否则α<0；若α>0，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时 0<α<1，下凸时α>1；最后由 x>1 时， α的值按逆时针方向依次增大得出结论. (2)幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表： α<0 0<α<1 α>1 p，q 都是奇数 p 为奇数， q 为偶数 p 为偶数， q 为奇数 考点 3 比较大小 答案：A 答案：C 【规律